Як ви знайдете sin (x / 2), cos (x / 2) і tan (x / 2) з даного Cot (x) = 13?

Відповідь:

Насправді існують чотири значення для # x / 2 # на одиничному колі, так чотири значення для кожної тригерної функції. Головне значення половини кута навколо # 2.2.

#cos (1 / 2text {Arc} текст {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin (1 / 2text {Arc} текст {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

#tan (1 / 2text {Arc} текст {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Будь ласка, дивіться пояснення для інших.

Пояснення:

Давайте спочатку поговоримо про відповідь. Є два кути на одиничному колі, чий котангенс є #13#. Один навколо # 4.4 ^ #і ще один плюс # 180 ^ circ #, назви це # 184.4 ^ circ #. Кожен з них має два півхвилі, знову розділені # 180 ^ circ. Перший має половину кутів # 2.2 ^ circ # і # 182.2 ^ circ #другий має половину кутів # 92.2 і # 272.2 ^ circ #Таким чином, йдеться про чотири напівкути, з різними, але пов'язаними значеннями для їхніх функцій тригерів.

Ми будемо використовувати наведені вище кути в якості наближень, тому ми маємо назви для них.

Кути з котангенсом 13:

#text {Arc} текст {cot} 13 приблизно 4.4 ^ circ #

# 180 ^ circ + текст {Arc} текст {cot} 13 приблизно 184,4 ^ circ #

Половина кутів:

# 1/2 текст {Arc} текст {cot} 13 приблизно 2,2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + текст {Arc} текст {cot} 13) приблизно 182,2 ^ circ #

# 1/2 (180 ^ circ + текст {Arc} текст {cot} 13) приблизно 92,2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + текст {Arc} текст {cot} 13) приблизно 272.2 ^ circ #

ОК, формула подвійного кута для косинуса:

#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #

так що відповідні формули половини кута

#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #

#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #

Це все попереднє. Давайте зробимо проблему.

Спочатку ми зробимо крихітний кут # 2.2. Ми бачимо, що решта їх просто кратні # 90 ^ # вище, так що ми можемо отримати їх функції тригерів з цього першого кута.

Котангенс 13 є нахилом #1/13# так відповідає прямому трикутнику з протилежним #1#, суміжні #13# і гіпотенузи #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}.

#cos (текст {Arc} текст {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #

#sin (текст {Arc} текст {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #

Тепер ми застосовуємо формули для кута половини. Для нашого підліткового кута в першому квадранті ми вибираємо позитивні знаки.

#cos (1 / 2text {Arc} текст {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 + {13}) / sqrt {170})} #

Ми могли б спробувати спростити і перенести фракції за межами радикалу, але я просто залишу його тут.

#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 - {13}) / sqrt {170})} #

Тангента половинного кута є часткою цих, але легше у використанні

# tan (тета / 2) = {гріх тета} / {1 + cos theta} #

#tan (1 / 2text {Arc} текст {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #

Добре, це все важка частина, але не будемо забувати про інші кути.

# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin 182.2 ^ circ = -sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Тепер ми маємо решту кутів, які заміняють синусоїдальний і косинусний, перевертають знаки. Ми не будемо повторювати форми, окрім дотичної.

# cos 92.2 ^ circ = - sin 2.2 ^ circ #

#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #

# tan 92.2 ^ circ = -1 / {tan 2.2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #

# cos 272.2 ^ circ = sin 2.2 ^ circ #

#sin 272.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ #

# tan 272.2 ^ circ = tan 92.2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #

Уф.

Відповідь:

#color (indigo) (tan (x / 2) = 0,0384, sin (x / 2) = + -0,0384, cos (x / 2) = + - 1 #

#color (малиновий) (tan (x / 2) = -26.0384, sin (x / 2) = + - 0.9993, cos (x / 2) = + - 0.0384 #

Пояснення:

# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #

#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #

+ cos 2x = (1- 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #

#cot x = 1 / tan x = 13 #

#tan x = 1/13 #

#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #

# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #

# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #

#tan (x / 2) = 0,0384, -26,0384 #

# csc ^ 2x = 1 + cot ^ 2 x #

#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + ліжечко ^ 2 (x / 2) #

Але wen знають #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #

Коли #tan (x / 2) = 0,0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0,0384) ^ 2 = 679,1684 #

#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #

#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0,0384 / 0,0384 = + - 1 #

Коли #tan (x / 2) = -26,0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #

#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0,9993 / -26,0384 = + -0,0384 #