Співвідношення двох позитивних дійсних чисел - p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2): p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2), то знаходить їх співвідношення AM і GM?

Відповідь:

# p / q #.

Пояснення:

Нехай нос. бути #x і y, "where, x, y" у RR ^ + #.

За даними, #x: y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)):(p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

#:. x / (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = y / (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = лямбда, "скажімо" #.

#:. x = лямбда (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) і y = лямбда (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

Тепер AM # A # з # x, y # є, # A = (x + y) / 2 = lambdap #, і, їх

GM # G = sqrt (xy) = sqrt лямбда ^ 2 {p ^ 2 (p ^ 2-q ^ 2)} = лямбдак #.

Ясно, # "бажане співвідношення" = A / G = (lambdap) / (lambdaq) = p / q #.

Відповідь:

# p / q #

Пояснення:

Я збираюся використовувати ті ж позначення, що й у цій відповіді. Насправді не існує реальної необхідності цього рішення (оскільки проблема вже досить добре розв'язана) - окрім того, що вона ілюструє використання техніки, яку я дуже люблю!

Відповідно до проблеми

# x / y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) / (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #

Використовуючи componendo та dividendo (це улюблена техніка, яку я згадував вище), ми отримуємо

# (x + y) / (x-y) = p / sqrt (p ^ 2-q ^ 2) має на увазі #

# ((x + y) / (x-y)) ^ 2 = p ^ 2 / (p ^ 2-q ^ 2) має на увазі #

# (x + y) ^ 2 / ((x + y) ^ 2- (x-y) ^ 2) = p ^ 2 / (p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)) має на увазі #

# (x + y) ^ 2 / (4xy) = p ^ 2 / q ^ 2 має на увазі #

# (x + y) / (2sqrt (xy)) = p / q #

• що є необхідним співвідношенням AM: GM.