Доведіть, що (aVb) ^ n = a ^ n V b ^ n?

Відповідь:

(див. нижче)

Пояснення:

Припустимо, що найбільший загальний фактор Росії # a # і # b # є # k #

тобто # (aVb) = k # використовуючи позначення в цьому питанні.

Це означає що

#color (білий) ("XXX") a = k * p #

#color (білий) ("XXX") b = k * q #

(для # k, p, q в NN) #

де

#color (білий) ("XXX") #прості фактори # p #: # {p_1, p_2, …} #

#color (білий) ("XXX") #і

#color (білий) ("XXX") #прості фактори # q #: # {q_1, q_2, …} #

#color (білий) ("XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX") #не мають спільних елементів.

З визначення # k # (вище)

ми маємо # (aVb) ^ n = k ^ n #

Далі

#color (білий) ("XXX") a ^ n = (k * p) ^ n = k ^ n * p ^ n #

#color (білий) ("XXX") b ^ n = (k * q) ^ n = k ^ n * q ^ n #

де # p ^ n # і # q ^ n # не може мати спільних простих чинників (з # p # і # q # не мають спільних простих факторів.

Тому

#color (білий) ("XXX") a ^ nVb ^ n = k ^ n #

… і

# (aVb) ^ n = a ^ nVb ^ n #

Відомо, що рівняння bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 має один реальний корінь. Доведіть, що рівняння x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 не має реальних коренів.

Дивись нижче. Корені для bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 є x = (a - 3 b pmsqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2]) / (2 b) Корені будуть співпадати і реальний, якщо a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 або a = b або a = 5b Тепер вирішуючи x ^ 2 + (ab) x + (ab-b) ^ 2 + 1) = 0 маємо x = 1/2 (-a + b pm sqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4]) Умова для складних коренів a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4 lt 0 тепер роблячи a = b або a = 5b ми маємо a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 Висновок, якщо bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 має збігаються реальні коріння, тоді x ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 буде мати складні корені.

Доведіть, що: cos120 cos240 - sin240 sin120 = 1?

Дивіться нижче. Ми знаємо, що cos (A + B) = cosAcosB-sinAsinB Так, cos240 ° * cos120 ° -sin240 ° * sin120 ° = cos (240 ° + 120 °) = cos360 ° = 1

Доведіть, що (1 + Log_5 8 + Log_5 2) / log_5 6400 = 0.5 Зверніть увагу на базовий номер кожного журналу 5, а не на 10. Я постійно отримую 1/80, чи може хтось допомогти?

1/2 6400 = 25 * 256 = 5 ^ 2 * 2 ^ 8 => log (6400) = log (5 ^ 2) + log (2 ^ 8) = 2 + 8 log (2) log (8) = log (2 ^ 3) = 3 log (2) => (1 + log (8) + log (2)) / log (6400) = (1 + 4 log (2)) / (2 + 8log (2)) = 1/2