Які значення r (з r> 0), для яких ряд сходиться?

Відповідь:

#r <1 / e # є умовою конвергенції #sum_ (n = 1) ^ або ^ ln (n) #

Пояснення:

Я просто відповім на частину про зближення, перша частина якої була отримана відповідь у коментарях. Ми можемо використовувати # r ^ ln (n) = n ^ ln (r) # переписати суму #sum_ (n = 1) ^ або ^ ln (n) # у формі

#sum_ (n = 1) ^ on ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {для} p = -ln (r) #

Серія праворуч є серійною формою для знаменитої функції Римана. Добре відомо, що ця серія збігається, коли #p> 1 #. Використання цього результату безпосередньо дає

# -ln (r)> 1 має на увазі ln (r) <- 1 означає r <e ^ -1 = 1 / e #

Результат про функціях Рімана Зета дуже добре відомий, якщо хочете ab initio Відповідь, ви можете спробувати інтегральний тест для конвергенції.