Як вирішити поліноміальну нерівність і викласти відповідь в інтервальних позначеннях, отриманих x ^ 6 + x ^ 3> = 6?

Відповідь:

Нерівність квадратична за формою.

Пояснення:

Крок 1: Ми вимагаємо нуль на одній стороні.

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #

Крок 2: Оскільки ліва сторона складається з постійного терміну, середнього терміну, і терміна, експонент якого є вдвічі більшим, ніж на середньому терміні, це рівняння є квадратичним "у формі". Ми або оцінюємо це як квадратичну, або використовуємо квадратичну формулу. У цьому випадку ми можемо фактор.

Так як # y ^ 2 + y - 6 = (y + 3) (y - 2) #Ми тепер маємо

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = (x ^ 3 + 3) (x ^ 3 - 2) #.

Ми лікуємо # x ^ 3 # як би це була проста змінна, y.

Якщо це більш корисно, ви можете замінити #y = x ^ 3 #, потім вирішити для y, і, нарешті, замінити назад на x.

Крок 3: Встановіть кожен коефіцієнт, рівний нулю окремо, і вирішити рівняння # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = 0 #. Знайдемо, де ліва сторона дорівнює нулю, оскільки ці значення будуть межами нашої нерівності.

# x ^ 3 + 3 = 0 #

# x ^ 3 = -3 #

#x = -root (3) 3 #

# x ^ 3 -2 = 0 #

# x ^ 3 = -2 #

#x = root (3) 2 #

Це два реальних кореня рівняння.

Вони розділяють реальну лінію на три інтервали:

# (- oo, -root (3) 3); (-корінь (3) 3, корінь (3) 2); та (root (3) 2, oo) #.

Крок 4: Визначте знак лівої сторони нерівності на кожному з вищевказаних інтервалів.

Використання тестових точок є звичайним методом. Виберіть значення з кожного інтервалу і підставляйте його для x у лівій частині нерівності. Ми можемо вибрати -2, потім 0, а потім 2.

Ви побачите, що ліва сторона є

позитивний на # (- oo, -root (3) 3) #;

негативний на # (- root (3) 3, root (3) 2) #;

і позитивний на # (root (3) 2, oo) #.

Крок 5. Виконайте проблему.

Ми зацікавлені в тому, щоб дізнатися, де # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #.

Тепер ми знаємо, де ліва сторона дорівнює 0, і ми знаємо, де вона позитивна. Напишіть цю інформацію в формі інтервалу як:

# (- oo, -root (3) 3 uu корінь (3) 2, оо) #.

ПРИМІТКА: У нас є дужки, оскільки дві сторони нерівності рівні в цих точках, і оригінальна проблема вимагає для нас включати ці цінності. Виникла проблема #># замість # ge #, ми б використали дужки.