X ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 4x + 1 = 0. Як вирішити для x?

Відповідь:

`x = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2`

Пояснення:

Оскільки ця квартіка не має раціональних коренів (і я не можу заважати формулам), ми починаємо з методу Ньютона для наближення коренів:

`x ~~ -0.303`

`x ~~ -0,618`

`x ~~ 1.618`

`x ~~ 3.303`

З них ми знаходимо це `x ~~ -0,618` і `x ~~ 1.618` виділяються. Ми визнаємо їх золотим співвідношенням:

`x = (1 + -sqrt5) / 2`

Ми також можемо переконатися, що вони є коріннями, підключивши їх до рівняння, але ви можете просто взяти моє слово, що вони дійсно є корінням.

Це означає, що наступним є коефіцієнт рівняння:

`(x- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) =`

`= ((x-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) =`

`= (x-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 =`

`= x ^ 2-x-1`

Так, ми знаємо `x ^ 2-x-1` є фактором, ми можемо використовувати поліноміальне довге поділ, щоб знайти залишок і переписати рівняння так: t

`(x ^ 2-x-1) (x ^ 2-3x-1) = 0`

Ми вже з'ясували, коли лівий фактор дорівнює нулю, тому ми зараз дивимося праворуч. Ми можемо вирішити квадратичне використання квадратичної формули, щоб отримати:

`x = (3 + -sqrt13) / 2`