Що таке власний вектор? + Приклад

Відповідь:

Якщо вектор # v # і лінійне перетворення векторного простору # A # такі, що #A (v) = k * v # (де постійна # k # це називається власне значення), # v # називається власний вектор лінійного перетворення # A #.

Пояснення:

Уявіть лінійне перетворення # A # розтягування всіх векторів на коефіцієнт #2# в тривимірному просторі. Будь-який вектор # v # перетвориться в # 2v #. Тому для цього перетворення є всі вектори власні вектори с власне значення з #2#.

Розглянемо обертання тривимірного простору навколо осі Z на кут # 90 ^ o #. Очевидно, що всі вектори, крім тих, що знаходяться по осі Z, змінять напрямок і, отже, не можуть бути власні вектори. Але ці вектори вздовж осі Z (їх координати мають вигляд # 0,0, z #) збереже їхній напрямок і довжину, тому вони є власні вектори с власне значення з #1#.

Нарешті, розглянемо обертання на # 180 ^ o # в тривимірному просторі навколо осі Z. Як і раніше, всі вектори довгої осі Z не зміняться, тому вони є власні вектори с власне значення з #1#.

Крім того, всі вектори в площині XY (їх координати мають вигляд # x, y, 0 #) змінить напрямок на протилежне, зберігаючи довжину. Тому вони також є власні вектори с власні значення з #-1#.

Будь-яке лінійне перетворення векторного простору може бути виражено як множення вектора на матрицю. Наприклад, перший приклад розтягування описується як множення на матрицю # A #

| 2 | 0 | 0 |

| 0 | 2 | 0 |

| 0 | 0 | 2 |

Така матриця, помножена на будь-який вектор # v = {x, y, z} # буде виробляти # A * v = {2x, 2y, 2z} #

Це, очевидно, дорівнює # 2 * v #. Отже, у нас є

# A * v = 2 * v #, що доводить, що будь-який вектор # v # є власний вектор з власне значення #2#.

Другий приклад (обертання на # 90 ^ o # навколо осі Z) може бути описано як множення на матрицю # A #

| 0 | -1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 |

Така матриця, помножена на будь-який вектор # v = {x, y, z} # буде виробляти # A * v = {- y, x, z} #, який може мати той самий напрямок, що і вихідний вектор # v = {x, y, z} # лише якщо # x = y = 0 #, тобто якщо оригінальний вектор спрямований вздовж осі Z.