Нехай f (x) = x-1. 1) Переконайтеся, що f (x) не є ні четним, ні непарним. 2) Чи може f (x) записатися як сума парної функції і непарної функції? а) Якщо так, то покажіть рішення. Чи є більше рішень? б) Якщо ні, то довести, що це неможливо.

Дозволяє #f (x) = | x -1 | #.

Якщо f були рівними, то #f (-x) # буде рівним #f (x) # для всіх x.

Тоді, якщо f були непарними #f (-x) # буде рівним # -f (x) # для всіх x.

Зауважимо, що для x = 1

#f (1) = | 0 | = 0 #

#f (-1) = | -2 | = 2 #

Оскільки 0 не дорівнює 2 або до -2, f не є ні четним, ні непарним.

Може бути написано так #g (x) + h (x) #, де g є парним і h непарним?

Якщо це було так #g (x) + h (x) = | x - 1 | #. Назвемо це твердження 1.

Замінити x на -x.

#g (-x) + h (-x) = | -x - 1 | #

Оскільки g є рівним і h непарним, ми маємо:

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | # Назвемо це твердження 2.

Вставляючи заяви 1 і 2 разом, ми бачимо це

#g (x) + h (x) = | x - 1 | #

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | #

ДОДАТИ ЦЕ, щоб отримати

# 2g (x) = | x - 1 | + | -x - 1 | #

#g (x) = (| x - 1 | + | -x - 1 |) / 2 #

Це дійсно навіть, оскільки #g (-x) = (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 = g (x) #

З твердження 1

# (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 + h (x) = | x - 1 | #

# | -x - 1 | / 2 + | x - 1 | / 2 + h (x) = | x - 1 | #

#h (x) = | x - 1 | / 2 - | -x - 1 | / 2 #

Це дійсно дивно, оскільки

#h (-x) = | -x - 1 | / 2 - | x - 1 | / 2 = -h (x) #.