Відповідь:
Немає рішень у # RR #.
Пояснення:
Перш за все, давайте трохи спростимо:
Як # e ^ x # і #ln (x) # є зворотними функціями, # e ^ ln (x) = x # як і #ln (e ^ x) = x #. Це означає, що ви можете спростити ваш третій логарифмічний термін:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #
# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Ваша наступна мета - принести все # log # функції до тієї ж бази, що дає можливість використовувати на них правила логарифму і спростити.
Базу логарифму можна змінити таким чином:
#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #
Використовуємо це правило для зміни бази #8# з # log_8 # і основу #32# з # log_32 # до бази #2#:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Тепер можна розрахувати # log_2 (8) = 3 # і # log_2 (32) = 5 #
(у випадку, якщо не зрозуміло, дозвольте мені розбити її, щоб переконатися # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)
Це призводить до наступного, більш простого, логарифмічного рівняння:
# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
… помножте обидві сторони на #3#…
# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
Тепер ми готові використовувати правила логарифму:
#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # і #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #
Мета - мати тільки одну # log # ліворуч. Давайте зробимо це.:)
# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4
# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
У цей момент ми можемо позбутися від # log_2 (a) # шляхом застосування зворотної функції # 2 ^ a # до обох сторін рівняння.
# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #
На жаль, я повинен визнати, що я застряг в цей момент, оскільки я не знаю, як вирішити це рівняння.
Однак задум #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # говорить мені, що це рівняння не має рішення в # RR #.
графік {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9.63, 10.37, -4.88, 5.12}
Сподіваюся, що це трохи допомогло!
