Як ви знайдете подання силового ряду для (arctan (x)) / (x) і який радіус конвергенції?

Відповідь:

Інтегруємо силові ряди похідної Росії #arctan (x) # потім розділити на # x #.

Пояснення:

Ми знаємо представлення силового ряду # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # такий, що #absx <1 #. Тому # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Так що влада ряду #arctan (x) # є #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Ви ділите його # x #Ви дізнаєтеся, що силові ряди Росії #arctan (x) / x # є #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Скажімо #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Для того, щоб знайти радіус зближення цих силових рядів, ми оцінюємо #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Отже, якщо ми хочемо, щоб енергетичні ряди сходилися, ми потребуємо #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, так що серія буде сходитися, якщо #absx <1 #, що не дивно, оскільки це радіус збіжності представлення силового ряду #arctan (x) #.

Радіус кола 10 см. Якщо радіус збільшується на 20%, то як ви знайдете відсоток збільшення площі?

Рішення дається в багато деталей, щоб ви могли бачити, звідки все походить.Збільшення площі становить 44% від початкового кольору області (коричневий) ("Зауважте, що символ% подібний до одиниці вимірювання, який є") колір (коричневий) ("варто" 1/100) ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ color (синій) до початкового стану і зміни ") 20%" of "10 = 20 / 100xx10 = 2 larr" збільшення радіусу "Оригінальна область -> pir ^ 2 = pi10 ^ 2 = 100pi Нова область -> pir ^ 2 = pi12 ^ 2 = 144pi ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ color (синій) ("Визн

Термін r _ ("th") геометричного ряду дорівнює (2r + 1) cdot 2 ^ r. Сума першого n терміну ряду - що?

(4n-2) * 2 ^ n + 3 S = сума_ {r = 0} ^ n 2r * 2 ^ r + sum_ {r = 0} ^ n 2 ^ r S = sum_ {r = 1} ^ nr * 2 ^ (r + 1) + (1 - 2 ^ {n + 1}) / (1 - 2) S = a_ {01} (1 - 2 ^ n) / (1- 2) + ... + a_ { 0n} (1 - 2 ^ {n- (n-1)}) / (1- 2) + 2 ^ {n + 1} - 1 1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 4 S = сума_ {i = 0} ^ {n-1} 2 ^ {i + 2} (2 ^ (n - i) - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 sum_ {i = 0} ^ {n-1} (2 ^ n - 2 ^ i) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 * 2 ^ n * n - 4 * (2 ^ n - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = (4n-2) * 2 ^ n + 3 Перевіримо S = 1 * 2 ^ 0 + 3 * 2 ^ 1 + 5 * 2 ^ 2 + 7 * 2 ^ 3 + cdots S = 1 + 6 + 20 + 56 + cdots S (0) = 1

Який радіус конвергенції для цієї серії потужностей? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Abs z <1 d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots) = sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k, але sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1). Розглядаючи абс z <1, ми маємо сума_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = 1 / (1 + z) та int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z), що робить заміну z -> - z маємо -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z), тому збіжна для абс z <1