Як вирішити 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

Відповідь:

Ми можемо вирішити це питання графічно.

Пояснення:

Дане рівняння # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # можна переписати як

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Тепер візьмемо ці дві як окремі функції

#f (x) = 2e ^ (x) # і #g (x) = 7-2x # побудувати графік; їх точка перетину буде розчин до даного рівняння # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Це показано нижче: -

Відповідь:

Цей виходить за межі середньої шкільної алгебри, і найкращим способом її вирішення є запитати Вольфрам Альфа, який відповідає #x приблизно.94 #.

Пояснення:

Вирішити

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Такі запитання в цілому важкі, і відповідь залежить від того, чи ви в алгебрі в середній школі або глибше в математиці.

Для середньої школи найкращим підходом є просто спробувати невеликі цифри і подивитися, чи вони працюють. (Це працює для багатьох, багато математичних проблем середньої школи, fyi.) Існує дійсно тільки одне раціональне # x # що робить # e ^ x # раціональний, # x = 0 #, що не є рішенням. Отже, здогадуватися тут не буде.

Якщо апроксимація достатньо хороша, ми можемо нанести її на графік # 2e ^ x # і # 7-2x # і побачити, де вони зустрічаються.

Незалежно від вашого рівня, коли зіткнулися з жорстким, як це, це звичайно хороший крок, щоб запитати наявний експерт, який є Вольфрам Альфа.

Ми бачимо, що Альфа дав нам приблизну відповідь, досить близьку до 1, і навіть формулу, яка використовує W (x), яку журнал продуктів Lambert, який зазвичай не є частиною математики середньої школи.

Немає відповіді, використовуючи регулярні функції та операції, про які ми знаємо в середній школі. Як правило, це так, коли ми додаємо термін з # x # в експоненті до одного, де # x # з'являється як лінійна або вища потужність.

Це кінець відповіді для більшості студентів. Але ми можемо піти глибше. Журнал продукту є цікавою функцією.Розглянемо рівняння

#k = xe ^ x #

З правого боку зростає функція # x #, так він перетне # k # рано чи пізно. Взяти журнал нас ніде не дістає: #ln k = ln x + x #.

Ми потребуємо щось на зразок журналу, але не такої, що є протилежною # e ^ x #. Вона повинна бути зворотною # xe ^ x #. Це називається журналом продуктів або функцією Lambert W, яка визначається як:

#k = xe ^ x # має реальне рішення #x = W (k) #.

Ми обмежимо нашу увагу до реальних дій. Це цікаво спробувати відкрити # W '#s. Основною, яку ми даємо, є

#W (xe ^ x) = x #

Давайте # x = ye ^ y # у наступному #W (x) = y #. Тепер

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

Круто. Як на рахунок

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)} #

Ведення журналів, # W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) quad # припускають, що журнали визначені

Тепер, коли ви бачите, що це таке робота з W, подивіться, чи можете ви використати її для розв'язання рівняння, або перевірити рішення Альфи

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #