Як диференціювати f (x) = xe ^ (x-x ^ 2/2), використовуючи правило продукту?

Відповідь:

# e ^ (x- (x ^ 2/2)) (1 + x-x ^ 2) #

Пояснення:

Властивість продукту диференціації викладена наступним чином:

#f (x) = u (x) * v (x) #

#color (синій) (f '(x) = u' (x) v (x) + v '(x) u (x)) #

У даному виразі беруть

# u = x і v = e ^ (x- (x ^ 2/2)) #

Ми повинні оцінювати #u '(x) # і #v '(x) #

#u '(x) = 1 #

Знаючи похідну експоненційної, яка говорить:

# (e ^ y) '= y'e ^ y #

#v '(x) = (x- (x ^ 2/2))' e ^ (x- (x ^ 2/2)) #

#v '(x) = (1-x) e ^ (x- (x ^ 2/2)) #

#color (синій) (f '(x) = u' (x) v (x) + v '(x) u (x)) #

#f '(x) = 1 (e ^ (x- (x ^ 2/2))) + x (1-x) (e ^ (x- (x ^ 2/2))) #

Взяття # e ^ (x- (x ^ 2/2)) # як загальний фактор:

#f '(x) = e ^ (x- (x ^ 2/2)) (1 + x (1-x)) #

#f '(x) = e ^ (x- (x ^ 2/2)) (1 + x-x ^ 2) #

Як диференціювати f (x) = (5e ^ x + tanx) (x ^ 2-2x), використовуючи правило продукту?

F '(x) = (5e ^ x + sec ^ 2x) (x ^ 2-2x) + (5e ^ x + tanx) (2x-2) Для f (x) = (5e ^ x + tanx) (x ^ 2-2x), знаходимо f '(x) шляхом: f' (x) = d / dx [5e ^ x + tanx] (x ^ 2-2x) + (5e ^ x + tanx) d / dx [x ^ 2-2x] f '(x) = (5e ^ x + sec ^ 2x) (x ^ 2-2x) + (5e ^ x + tanx) (2x-2)

Як диференціювати f (x) = (4-x ^ 2) * ln x, використовуючи правило продукту?

((4-x ^ 2) -2x ^ 2 * lnx) / x Правило продукту: h = f * g h '= fg' + gf 'Примітка: f (x) = ln x f' (x) = 1 / x Дано f (x) = (4-x ^ 2) * lnx f '(x) = (4-x ^ 2) d / dx (lnx) + lnx * d / dx (4-x ^ 2) = ( 4-x ^ 2) (1 / x) + -2x (lnx) = (4-x ^ 2) / x - (2x) (ln x) = ((4-x ^ 2) -2x ^ 2 * lnx ) / x

Як диференціювати f (x) = x ^ 2 * sin4x, використовуючи правило продукту?

F '(x) = 2xsin (4x) + 4x ^ 2cos (4x) За правилом продукту похідна від u (x) v (x) є u' (x) v (x) + u (x) v ' (x). Тут u (x) = x ^ 2 і v (x) = sin (4x), тому u '(x) = 2x і v' (x) = 4cos (4x) правилом ланцюга. Ми застосуємо його на f, так що f '(x) = 2xsin (4x) + 4x ^ 2cos (4x).