Що таке швидкість частинки при t = 0 до t = 10, чиє прискорення є veca = 3t ^ 2 hati + 5t hatj- (8t ^ 3 + 400) hatk?

Відповідь:

Середня швидкість: # 6.01 xx 10 ^ 3 # # "m / s" #

Швидкість на час #t = 0 # # "s" #: #0# # "m / s" #

Швидкість на #t = 10 # # "s" #: # 2.40 xx 10 ^ 4 # # "m / s" #

Пояснення:

Я припускаю, що ви маєте на увазі середня швидкість від #t = 0 # до #t = 10 # # "s" #.

Наведено компоненти прискорення частинки і запропоновано знайти середню швидкість над першою #10# секунд його руху:

#vecv_ "av" = (Deltavecr) / (10 "s") #

де

#v_ "av" # - величина середньої швидкості, і
# Deltar # - зміна позиції об'єкта (від #0# # "s" # до #10# # "s" #).

Тому ми повинні знаходити положення об'єкта в цих двох разів.

Ми повинні вивести рівняння позиції з цього рівняння прискорення, інтегруючи його два рази:

Перша інтеграція:

#vecv = (t ^ 3) hati + (5 / 2t ^ 2) hatj - (2t ^ 4 + 400t) hatk # (швидкість)

Друга інтеграція:

#vecr = (1 / 4t ^ 4) hati + (5 / 6t ^ 3) hatj - (2 / 5t ^ 5 + 200t ^ 2) hatk # (позиція)

Початкове положення вважається вихідним, тому включимо його #10# для # t # у рівнянні положення:

#vecr = (2500) hati + (2500/3) hatk - (60000) hatk #

Потім можна розділити середнє значення швидкості на компоненти:

#v_ "av-x" = (Deltax) / (10 "s") = (2500 "м") / (10 "s") = колір (червоний) (250 # #color (червоний) ("m / s" #

#v_ "av-y" = (Deltay) / (10 "s") = (2500/3 "м") / (10 "s") = колір (синій) (250/3 # #color (синій) ("m / s" #

#v_ "av-z" = (Deltaz) / (10 "s") = (-60000 "m") / (10 "s") = колір (зелений) (- 6000 # #color (зелений) ("m / s" #

Використовуючи ці компоненти, можна знайти величину середнього вектора швидкості:

#v_ "av" = sqrt ((v_ "av-x") ^ 2 + (v_ "av-y") ^ 2 + (v_ "av-z") ^ 2) #

# = sqrt ((250 "м / с") ^ 2 + (250/3 "м / с") ^ 2 + (-6000 "м / с") ^ 2) #

# = колір (фіолетовий) (6.01 xx 10 ^ 3 # #color (фіолетовий) ("m / s" #

(Ось миттєво секція швидкості).

Знайти миттєві швидкості на #t = 0 # і #t = 10 # # "s" #, спочатку включимо ці часи до раніше інтегрованого рівняння швидкості:

#t = 0 # # "s" #

#vecv = ((0 "s") ^ 3) hati + (5/2 (0 "s") ^ 2) hatj - (2 (0 "s") ^ 4 + 400 (0 "s")) #

# = колір (червоний) (0 # #color (червоний) ("m / s" #

#t = 10 # # "s" #

#vecv = ((10 "s") ^ 3) hati + (5/2 (10 "s") ^ 2) hatj - (2 (10 "s") ^ 4 + 400 (10 "s")) hatk #

# = (1000 "м / с") hati + (250 "м / с") hatj - (24000 "м / с") hatk #

Таким чином, величина цієї швидкості

#v (10 "s") = sqrt ((1000 "м / с") ^ 2 + (250 "м / с") ^ 2 + (-24000 "м / с") ^ 2) #

# = колір (синій) (2.40 xx 10 ^ 4 # #color (синій) ("m / s" #