Як інтегрувати e ^ x * cos (x)?

Відповідь:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

Пояснення:

Потрібно двічі використовувати інтеграцію за частинами.

Для #u (x) і v (x) #, ІБП дається

#int uv 'dx = uv - int u'vdx #

Дозволяє #u (x) = cos (x) має на увазі u '(x) = -sin (x) #

#v '(x) = e ^ x має на увазі v (x) = e ^ x #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xcos (x) + колір (червоний) (inte ^ xsin (x) dx) #

Тепер використовуйте IBP на червоному терміні.

#u (x) = sin (x) має на увазі u '(x) = cos (x) #

#v '(x) = e ^ x має на увазі v (x) = e ^ x #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xcos (x) + e ^ xsin (x) - inte ^ xcos (x) dx #

Згрупуйте інтеграли разом:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ x (cos (x) + sin (x)) + C #

Тому

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

Дозволяє # I = inte ^ xcosxdx #

Ми використовуємо, Правило інтеграції частинами #: intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #.

Ми беремо, # u = cosx, і, v = e ^ x #.

Отже, # (du) / dx = -sinx, і, intvdx = e ^ x #. Тому, # I = e ^ xcosx + inte ^ xsinxdx = e ^ xcosx + J, J = inte ^ xsinxdx #.

Знайти # J #, ми застосовуємо це ж правило, але, тепер, з # u = sinx #, &, # v = e ^ x #, ми отримуємо,

# J = e ^ xsinx-inte ^ xcosxdx = e ^ xsinx-I #.

Підпункт цього в # I #, ми маємо, # I = e ^ xcosx + e ^ xsinx-I #, тобто

# 2I = e ^ x (cosx + sinx) #, або, # I = e ^ x / 2. (Cosx + sinx) #.

Насолоджуйтесь математикою!

Відповідь:

# e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #.

Пояснення:

Дозволяє # I = e ^ xcosxdx, а J = inte ^ xsinxdx #

Використання IBP #; intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #, з,

# u = cosx і, v = e ^ x #, ми отримуємо, # I = e ^ xcosx-int (-синкс) e ^ xdx = e ^ xcosx + inte ^ xsinxdx #, тобто

# I = e ^ xcosx + J rArr I-J = e ^ xcosx …. …………….. (1) #

Знову ІБП, в # J # ми отримуємо, # J = e ^ xsinx-inte ^ xcosx #таким чином, # J = e ^ xsinx-I rArr J + I = e ^ xsinx …………….. (2) #

Рішення #(1) & (2)# для #I і J #, ми маємо, # I = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C, і, J = e ^ x / 2 (sinx-cosx) + K #

Насолоджуйтесь математикою!