Який діапазон функції f (x) = 5 ^ (sqrt (2x ^ 2-1))?

Відповідь:

Діапазон 1, # oo #)

Пояснення:

При першому розгляді цієї проблеми я б зосередився на домені. Маючи x під квадратним коренем, зазвичай це призводить до обмеженого домену. Це має значення, тому що, якщо пункти не існують у домені, ми повинні переконатися, що ми їх не включаємо в діапазон!

Домен для #f (x) # є (-# oo #, -#sqrt (1/2) #)# uu #(#sqrt (1/2) #, # oo #), як # 2x ^ 2 -1 # не може бути менше #0# або отримане число буде уявним.

Тепер нам потрібно поглянути на поведінку кінця, щоб побачити, куди йде функція # oo # та -# oo # для # x #. Дивлячись на поведінку кінця, ми можемо ігнорувати більш дрібні деталі, які не впливають на загальну форму функції. При описі кінця поведінки, функція #g (x) # зазвичай використовується.

g (x) = # 5 ^ sqrt (x ^ 2) #

g (x) = # 5 ^ | x | #

І «підключити» негативну і позитивну нескінченність

g (-# oo #) = # 5 ^ | -оо | #

g (# -оо #) = # oo #

g (# oo #) = # 5 ^ | oo | #

g (# oo #) = # oo #

#f (x) # так чи інакше йде до позитивної нескінченності

Тепер нам потрібно знайти мінімум, яким є функція. Майте на увазі, що #f (x) # не є безперервним, як ми демонстрували в його обмеженій області.

З #f (x) # - парна функція (симетрична по осі ординат) і # y # збільшується як величина # x # робить, мінімум # y # Значення буде знайдено там, де # x # Найближче до 0. У нашому випадку це буде -#sqrt (1/2) # або #sqrt (1/2) # через обмежений домен. Дозволяє підключити #sqrt (1/2) # знайти мінімум.

f (#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (sqrt (1/2)) ^ 2-1) #

f (#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (1/2) -1) #

f (#sqrt (1/2) #) = #5^(1-1)#

f (#sqrt (1/2) #) = #5^0#

f (#sqrt (1/2) #) = 1

Отже, діапазон буде 1, # oo #)

Відповідь:

1, позитивна нескінченність

Пояснення:

При графіку цієї функції (я рекомендую Desmos, якщо ви не маєте її графіку) ви можете бачити найнижчу частину функції, що торкається 1 на осі у, і продовжує позитивно до нескінченності. Простий спосіб знайти це без графіка, щоб побачити, якщо у вас є обмеження в рівнянні. Оскільки не існує квадратних коренів негативних чисел, ми знаємо, що якщо встановити значення 0, можна знайти найменше можливе значення x.

#sqrt ((2x ^ 2) -1) = 0 #

# (2x ^ 2) -1 = 0 ^ 2 #

# 2x ^ 2-1 = 0 #

# 2x ^ 2 = 1 #

# x ^ 2 = 1/2 #

# x = sqrt (1/2) #

Тепер, коли ми маємо обмеження домену, ми можемо використовувати це для початкового рівняння

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (sqrt (1/2)) ^ 2) -1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (1/2) -1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((1-1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt (0) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ 0 #

#f (sqrt (1/2)) = 1 #

Тепер ми визначили, що найменше можливе значення y дорівнює 1, і немає ніяких обмежень щодо того, наскільки високими можуть бути значення y. Отже, діапазон від позитивного 1 (включно) до позитивного нескінченності.