Як ви доводите arcsin x + arccos x = pi / 2?

Відповідь:

як показано

Пояснення:

Дозволяє

# arcsinx = theta #

потім

# x = sintheta = cos (pi / 2-тета) #

# => arccosx = pi / 2-тета = pi / 2-arcsinx #

# => arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Відповідь:

Це твердження є істинним, коли зворотні тригерні функції відносяться до основних значень, але це вимагає більш пильної уваги, ніж інша відповідь.

Коли зворотні тригерні функції вважаються багатозначними, ми отримуємо, наприклад, більш тонкий результат

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # але #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Ми повинні відняти, щоб отримати # pi / 2 #.

Пояснення:

Цей більш складний, ніж це виглядає. Інша відповідь не приділяє їй належної поваги.

Загальна конвенція полягає у використанні невеликої букви #arccos (x) # і #arcsin (x) # як багатозначні вирази, кожна з яких відповідно вказує всі значення, косинус або синус яких має задане значення # x #.

Сенс суми тих, що дійсно є можливим поєднанням, і вони не завжди дають # pi / 2. # Вони навіть не завжди дають один з котермінальних кутів # # pi / 2 + 2pi k quad # ціле число # k #, як ми тепер покажемо.

Давайте подивимося, як він працює з багатозначними зворотними тригерними функціями. Пам'ятайте взагалі cos x = cos a # має рішення # x = pm a + 2pi k quad # ціле число # k #.

# c = arccos x # дійсно означає

#x = cos c #

#s = arcsin x # дійсно означає

#x = sin s #

#y = s + c #

# x # відіграє роль реального параметра, з якого витікає #-1# до #1#. Ми хочемо вирішити # y #, знайти всі можливі значення # y # які мають #x, s # і # c # що робить ці одночасні рівняння #x = cos c, x = sin s, y = s + c # вірно.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Використовуємо наше загальне рішення про рівність косинусів.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # ціле число # k #

# s c = pi / 2 - 2pi k #

Тому ми отримуємо набагато більш туманний результат, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(Дозволено вмикати знак # k. #)

Орієнтуємося тепер на головні цінності, які я пишу великими літерами:

Показати #text {Arc} текст {sin} (x) + текст {Arc} текст {cos} (x) = pi / 2 #

Ця заява дійсно справедлива для основних значень, визначених звичайним способом.

Сума визначається тільки (поки ми не отримаємо досить глибокі складні числа) для # -1 le x le 1 # оскільки дійсний синус і косинус знаходяться в цьому діапазоні.

Ми розглянемо кожну сторону еквівалента

# text {Arc} текст {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - текст {Arc} текст {sin} (x) #

Ми візьмемо косинус обох сторін.

#cos (текст {Arc} текст {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - текст {Arc} текст {sin} (x)) = sin (текст {Arc} текст {sin} (x)) = x #

Тому, не турбуючись про знаки або основні цінності, ми впевнені

#cos (текст {Arc} текст {cos} (x)) = cos (pi / 2 - текст {Arc} текст {sin} (x)) #

Важливою частиною, що заслуговує на повагу, є наступний крок:

#text {Arc} текст {cos} (x) = pi / 2 - текст {Arc} текст {sin} (x) quad # НЕ ПОВИННІ

Ми повинні уважно стежити. Візьмемо позитивний і негативний # x # окремо.

Спочатку # 0 le x le 1 #. Це означає, що основні значення обох функцій зворотного тригера знаходяться в першому квадранті, між #0# і # pi / 2. # Обмежені першим квадрантом, рівні косинуси означають рівні кути, тому ми робимо висновок #x ge 0, #

#text {Arc} текст {cos} (x) = pi / 2 - текст {Arc} текст {sin} (x) quad #

Тепер # -1 le x <0. # Основна величина зворотного знака знаходиться в четвертому квадранті і для #x <0 # ми зазвичай визначаємо головне значення в діапазоні

# - pi / 2 le text {Arc} текст {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - текст {Arc} текст {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - текст {Arc} текст {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - текст {Arc} текст {sin} (x) le pi #

Головним значенням для негативного зворотного косинуса є другий квадрант, # pi / 2 <текст {Arc} текст {cos} (x) le pi #

Отже, у другому квадранті ми маємо два кути, косинуси яких рівні, і можна зробити висновок, що кути рівні. Для #x <0 #, #text {Arc} текст {cos} (x) = pi / 2 - текст {Arc} текст {sin} (x) quad #

Так чи інакше, # text {Arc} текст {sin} (x) + текст {Arc} текст {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #