Як знайти поліноміальну функцію з корінням 1, 7 і -3 кратності 2?

Відповідь:

#f (x) = 2 (x-1) (x-7) (x + 3) = 2x ^ 3-5x ^ 2-17x + 21 #

Пояснення:

Якщо коріння становлять 1,7, -3, то у факторизованій формі поліноміальна функція буде:

#f (x) = A (x-1) (x-7) (x + 3) #

Повторіть корені, щоб отримати потрібну кратність:

#f (x) = (x-1) (x-7) (x + 3) (x-1) (x-7) (x + 3) #

Відповідь:

Найпростіший поліном з корінням #1#, #7# і #-3#, кожен з кратністю #2# є:

#f (x) = (x-1) ^ 2 (x-7) ^ 2 (x + 3) ^ 2 #

# = x ^ 6-10x ^ 5-9x ^ 4 + 212x ^ 3 + 79x ^ 2-714x + 441 #

Пояснення:

Будь-який поліном з цими коріннями з принаймні цими кратностями буде кратним #f (x) #, де …

#f (x) = (x-1) ^ 2 (x-7) ^ 2 (x + 3) ^ 2 #

# = (x ^ 3-5x ^ 2-17x + 21) ^ 2 #

# = x ^ 6-10x ^ 5-9x ^ 4 + 212x ^ 3 + 79x ^ 2-714x + 441 #

… принаймні, я думаю, що це правильно помножилося.

Давайте перевіримо #f (2) #:

#2^6-10*2^5-9*2^4+212*2^3+79*2^2-714*2+441#

#=64-320-144+1696+316-1428+441=625#

#((2-1)(2-7)(2+3))^2 = (1*-5*5)^2 = (-25)^2 = 625#

Поліном ступеня 4, P (x) має корінь кратності 2 при x = 3 і коріння кратності 1 при x = 0 і x = -3. Він проходить через точку (5,112). Як знайти формулу для P (x)?

Поліном ступеня 4 матиме кореневу форму: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) Підставляйте в значення для коренів, а потім використовуйте точку, щоб знайти значення k. Підставляємо в значення для коренів: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) Використовуємо точку (5,112), щоб знайти значення k: 112 = k (5-0) (5-3) (5-3) (5 - (- 3)) 112 = k (5) (2) (2) (8) k = 112 / ((5) (2) ( 2) (8)) k = 7/10 Корінь з полінома: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3))

Поліном ступеня 5, P (x) має провідний коефіцієнт 1, має коріння кратності 2 при x = 1 і x = 0, а корінь кратності 1 при x = -3, як можна знайти можливу формулу для P (x)?

P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Кожен корень відповідає лінійному фактору, тому ми можемо писати: P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x +3) = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Будь-який поліном з цими нулями і принаймні ці кратність буде кратна (скалярна або поліноміальна) цієї P (x) виноски Строго кажучи, значення x, яке приводить до P (x) = 0, називається коренем P (x) = 0 або нулем P (x). Отже, питання повинно було б говорити про нулі P (x) або про корені P (x) = 0.

Поліном ступеня 5, P (x) має провідний коефіцієнт 1, має коріння кратності 2 при x = 1 і x = 0, а корінь кратності 1 при x = -1 Знайдіть можливу формулу для P (x)?

P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Враховуючи, що ми маємо корінь кратності 2 при x = 1, ми знаємо, що P (x) має фактор (x-1) ^ 2 Враховуючи, що ми маємо корінь кратності 2 при x = 0, ми знаємо, що P (x) має коефіцієнт x ^ 2 Враховуючи, що ми маємо корінь кратності 1 при x = -1, відомо, що P (x) має фактор x + 1 Наведемо, що P (x) є многочленом ступеня 5, і тому ми ідентифікували всі п'ять коренів, і фактори, так що ми можемо написати P (x) = 0 => x ^ 2 (x) -1) ^ 2 (x + 1) = 0 І тому ми можемо написати P (x) = Ax ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Також відомо, що провідний коефіцієнт 1 => A = 1 Отже, P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x