Рівняння x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 = 0 має один позитивний корень. Переконайтеся, що цей корень лежить між 1 і 2.Чи може хтось вирішити це питання?

A корінь рівняння - це значення для змінної (у цьому випадку # x #), що робить рівняння вірним. Іншими словами, якщо ми повинні були вирішити для # x #, то вирішене значення (і) буде корінням.

Зазвичай, коли ми говоримо про коріння, це з функцією # x #, люблю # y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #, а знаходження коріння означає розв'язування # x # коли # y # дорівнює 0.

Якщо ця функція має корінь між 1 і 2, то в деяких # x #-значення між # x = 1 # і # x = 2 #, що рівняння буде дорівнювати 0. Що також означає, що в певній точці на одній стороні цього кореня рівняння є позитивним, а в деякому місці з іншого боку - негативним.

Оскільки ми намагаємося показати, що існує корінь між 1 і 2, якщо ми можемо показати, що рівняння перемикає знак між цими двома значеннями, ми будемо виконані.

Що # y # коли # x = 1 #?

# y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #

#color (білий) y = (1) ^ 5-3 (1) ^ 3 + (1) ^ 2-4 #

#color (білий) y = 1-3 + 1-4 #

#color (білий) y = –5

#color (білий) y <0 #

Тепер, що є # y # коли # x = 2 #?

# y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #

#color (білий) y = (2) ^ 5-3 (2) ^ 3 + (2) ^ 2-4 #

#color (білий) y = 32-3 (8) + 4-4 #

#color (білий) y = 32-24 #

#color (білий) y = 8 #

#color (білий) y> 0 #

Ми це показали # y # негативний, коли # x = 1 #, і # y # є позитивним, коли # x = 2 #. Таким чином, в певному місці між 1 і 2, там обов'язково значення для # x # що робить # y # дорівнює 0.

Ми тільки що використали Теорема проміжного значення або (IVT). Якщо ви не впевнені, що це таке, короткий опис є те, якщо безперервна функція менше # c # коли # x = a # і більше, ніж # c # коли # x = b #, потім у якийсь момент між ними # a # і # b #, функція повинна бути рівною # c. #

Примітка:

IVT застосовується тільки для безперервних функцій (або функцій, які є безперервними на інтересах). На щастя, всі поліноми в Росії # x # є постійними всюди, тому ми можемо використовувати IVT тут.