Якщо ви нахиляєте одну платівку, скільки очікується кількість рулонів, необхідних для згортання кожного числа?

Відповідь:

# 14.7 "рулони" #

Пояснення:

#P "усі викинуті числа" = 1 - P "1,2,3,4,5 або 6 не викинуті" #

#P "A або B або C або D або E або F" = P A + P B + … + P F - #

#P A і B - P A і C …. + P A і B і C + … #

# "Ось це" #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "Негативною є наша вірогідність".

#sum n * a ^ (n-1) = сума (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) сума a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = сума n * P "всі числа, викинуті після n кидків" #

# = сума n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "Ми повинні відняти одну через початкову умову P_1 (0)" #

# "дає помилкове значення P = 1 для n = 1."

# => P = 15,7 - 1 = 14,7 #

Відповідь:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Пояснення:

Подумайте про це, як про 6 міні-ігор. Для кожної гри ми кидаємо плашки, поки ми не перевернемо число, яке ще не було розгорнуто - те, що ми назвемо "перемогою". Потім ми починаємо наступну гру.

Дозволяє # X # кількість рулонів, необхідних для котирування кожного номера, принаймні один раз (тобто перемоги всіх 6 міні-ігор), і нехай # X_i # бути числом рулонів, необхідних для "перемоги" міні-ігрового номера # i # (для # i # від 1 до 6). Потім кожен # X_i # є геометричною випадковою змінною з розподілом # "Geo" (p_i) #.

Очікуване значення кожної геометричної випадкової величини дорівнює # 1 / p_i #.

Для першої гри, # p_1 = 6/6 # оскільки всі 6 результатів є "новими". Таким чином, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

Для другої гри, 5 з 6 результатів є новими, так # p_2 = 5/6 #. Таким чином, # "E" (X_2) = 6/5 = 1,2 #.

Для третьої гри 4 з 6 можливих рулонів є новими # p_3 = 4/6 #, значення # "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 #.

До цього моменту ми можемо побачити зразок. Оскільки кількість "переможних" рулонів зменшується на 1 для кожної нової гри, ймовірність "виграшу" кожної гри знижується з #6/6# до #5/6#, потім #4/6#і т.д., що означає очікувану кількість рулонів на гру #6/6# до #6/5#, до #6/4#і так далі, до останньої гри, де ми очікуємо, що він візьме 6 рулонів, щоб отримати останнє число.

Таким чином:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#color (білий) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

#color (білий) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

# color (білий) ("E" (X)) = 1 + 1.2 + 1.5 + 2 + 3 + 6 #

#color (білий) ("E" (X)) = 14,7 #