Якщо ви нахиляєте одну платівку, скільки очікується кількість рулонів, необхідних для згортання кожного числа?

Якщо ви нахиляєте одну платівку, скільки очікується кількість рулонів, необхідних для згортання кожного числа?
Anonim

Відповідь:

14.7 "рулони"

Пояснення:

P "усі викинуті числа" = 1 - P "1,2,3,4,5 або 6 не викинуті"

P "A або B або C або D або E або F" = P A + P B + … + P F -

P A і B - P A і C …. + P A і B і C + …

"Ось це"

P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n

P = P_1 (n) - P_1 (n-1)

= 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + …

= - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1)

# "Негативною є наша вірогідність".

sum n * a ^ (n-1) = сума (d / {da}) (a ^ n)

= (d / {da}) сума a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2

=> E n = сума n * P "всі числа, викинуті після n кидків"

= сума n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + …

= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2

= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2

= 15.7

"Ми повинні відняти одну через початкову умову P_1 (0)"

# "дає помилкове значення P = 1 для n = 1."

=> P = 15,7 - 1 = 14,7

Відповідь:

6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7

Пояснення:

Подумайте про це, як про 6 міні-ігор. Для кожної гри ми кидаємо плашки, поки ми не перевернемо число, яке ще не було розгорнуто - те, що ми назвемо "перемогою". Потім ми починаємо наступну гру.

Дозволяє X кількість рулонів, необхідних для котирування кожного номера, принаймні один раз (тобто перемоги всіх 6 міні-ігор), і нехай X_i бути числом рулонів, необхідних для "перемоги" міні-ігрового номера i (для i від 1 до 6). Потім кожен X_i є геометричною випадковою змінною з розподілом "Geo" (p_i) .

Очікуване значення кожної геометричної випадкової величини дорівнює 1 / p_i .

Для першої гри, p_1 = 6/6 оскільки всі 6 результатів є "новими". Таким чином, "E" (X_1) = 6/6 = 1 .

Для другої гри, 5 з 6 результатів є новими, так p_2 = 5/6 . Таким чином, "E" (X_2) = 6/5 = 1,2 .

Для третьої гри 4 з 6 можливих рулонів є новими p_3 = 4/6 , значення "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 .

До цього моменту ми можемо побачити зразок. Оскільки кількість "переможних" рулонів зменшується на 1 для кожної нової гри, ймовірність "виграшу" кожної гри знижується з 6/6 до 5/6, потім 4/6і т.д., що означає очікувану кількість рулонів на гру 6/6 до 6/5, до 6/4і так далі, до останньої гри, де ми очікуємо, що він візьме 6 рулонів, щоб отримати останнє число.

Таким чином:

"E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6)

color (білий) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6)

color (білий) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1

color (білий) ("E" (X)) = 1 + 1.2 + 1.5 + 2 + 3 + 6

color (білий) ("E" (X)) = 14,7