Питання # e8ab5

Відповідь:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Пояснення:

По-перше, згадайте, що #cos (x + y) # є:

#cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #

Зауважте, що:

# (sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 #

# -> sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2 #

І:

# (cosx + cozy) ^ 2 = b ^ 2 #

# -> cos ^ 2x + 2кокскоси + cos ^ 2y = b ^ 2 #

Тепер ми маємо ці два рівняння:

# sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2 #

# cos ^ 2x + 2кокскоси + cos ^ 2y = b ^ 2 #

Якщо ми додати їх разом, ми маємо:

# sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y + cos ^ 2x + 2кокскоси + cos ^ 2y = a ^ 2 + b ^ 2 #

Не дозволяйте розмір цього рівняння відкинути вас. Шукайте ідентичності та спрощення:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) + (2sinxsiny + 2кокскоси) + (cos ^ 2y + sin ^ 2y) = a ^ 2 + b ^ 2 #

З # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # (Піфагорійська ідентичність) і # cos ^ 2y + sin ^ 2y = 1 # (Піфагорова ідентичність), ми можемо спростити рівняння до:

# 1 + (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 1 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

Ми можемо виокремити a #2# двічі:

# 2 (sinxsiny + cosxcosy) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> 2 ((sinxsiny + cosxcosy) +1) = a ^ 2 + b ^ 2 #

І розділити:

# (sinxsiny + cosxcosy) + 1 = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2 #

І відняти:

# sinxsiny + cosxcosy = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Нарешті, з #cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #, ми маємо:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Дано

# sinx + siny = a ……. (1) #

# cosx + cozy = b ……. (2) #

Квадрат і додавання (1) і (2)

# (cosx + cozy) ^ 2 + (sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2 (cosxcosy + sinxsiny) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 …. (3) #

Квадрат і віднімання (1) з (2)

# (cosx + cozy) ^ 2- (sinx + siny) ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos ^ 2x-sin ^ 2x + cos ^ 2y-sin ^ 2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos2x + cos2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + 2cos (x + y) cos (x-y) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => cos (x + y) (2 + 2cos (x-y)) = b ^ 2-a ^ 2 #

(# "From (3)" 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 #)

# => cos (x + y) (2 + b ^ 2 + a ^ 2-2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => cos (x + y) (b ^ 2 + a ^ 2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => cos (x + y) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #

Відповідь:

#cos (x + y) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #.

Пояснення:

# sinx + siny = rArr 2sin ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = a ……… (1) #.

# cosx + cozy = b rArr 2cos ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = b ………. (2) #.

Поділ #(1)# від #(2)#, ми маємо, #tan ((x + y) / 2) = a / b #.

Тепер, #cos (x + y) = {1-tan ^ 2 ((x + y) / 2)} / {1 + tan ^ 2 ((x + y) / 2)} #

# = (1-a ^ 2 / b ^ 2) / (1 + a ^ 2 / b ^ 2) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #.

Насолоджуйтесь математикою!