Чому потрібно знайти тригонометричну форму комплексного числа?

Залежно від того, що вам потрібно робити з вашими комплексними числами, тригонометрична форма може бути дуже корисною або дуже тернистою.

Наприклад, нехай # z_1 = 1 + i #, # z_2 = sqrt (3) + i # і # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Розрахуємо дві тригонометричні форми:

# theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # і # rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # і # rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 пі # і # rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Так тригонометричні форми:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 пі) + i sin (2/3 пі)) #

Додавання

Припустимо, ви хочете обчислити # z_1 + z_2 + z_3 #. Якщо ви використовуєте алгебраїчну форму, ви отримуєте

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Досить легко. Тепер спробуйте тригонометричну форму …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 пі) + i sin (2/3 пі)) #

виявляється, що найкоротший спосіб додати ці два вирази - це вирішення косинусів і синусів, що означає … перехід до алгебраїчної форми!

Алгебраїчна форма часто є найкращою формою для вибору додавання комплексних чисел.

Множення

Тепер спробуємо обчислити # z_1 * z_2 * z_3 #. Використання алгебраїчних форм вимагає великої кількості дратівливих обчислень. Але вирішення цього продукту з тригонометричними формами простіше:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2) / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

Інгредієнти, що доводять, що друга рівність виконується, випливають з тригонометрії: два додавання формул

#sin (alpha + beta) = sin (альфа) cos (бета) + sin (бета) cos (alpha) #

#cos (альфа + бета) = cos (alpha) cos (beta) -sin (alpha) sin (бета) #

Множення складних чисел ще чистіше (але концептуально не простіше) в експоненціальній формі.

У певному сенсі тригонометрична форма є свого роду проміжною формою між алгебраїчними і експоненціальними формами. Тригонометрична форма - це спосіб перемикання між цими двома. У цьому сенсі це свого роду "словник" для "перекладу" форм.