Пані Фокс запитала, що її клас - сума 4,2 і квадратний корінь з 2 раціонального або ірраціонального? Патрік відповів, що сума буде нераціональною. Вкажіть, чи є Патрік правильним чи неправильним. Обґрунтуйте свої міркування.

Відповідь:

Сума # 4.2 + sqrt2 # є ірраціональним; вона успадковує не повторюється десяткове властивість розширення #sqrt 2 #.

Пояснення:

An ірраціональне число - це число, яке не може бути виражене як відношення двох цілих чисел. Якщо число є ірраціональним, то його десяткове розширення йде назавжди без шаблону, і навпаки.

Ми це вже знаємо #sqrt 2 # є ірраціональним. Починається десяткове розширення:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

Кількість #4.2# є раціональний; вона може бути виражена як #42/10.# При додаванні 4.2 до десяткового розширення #sqrt 2 #, ми отримуємо:

#sqrt 2 + 4.2 = колір (білий) + 1.414213562373095 … #

#color (білий) (sqrt 2) колір (білий) + колір (білий) (4.2 =) + 4.2 #

#color (білий) (sqrt 2) колір (білий) + колір (білий) (4,2 =) бар (колір (білий) (+) 5.614213562373095 …) #

Легко бачити, що ця сума також не закінчується і не має повторюваного зразка, тому вона також ірраціональна.

Взагалі сума раціонального числа і ірраціонального числа завжди буде ірраціональною; аргумент подібний до вище.

Відповідь:

#color (синій) ("правильний") #

Пояснення:

Якщо ми почнемо з того, що сума є раціональною: усі раціональні числа можуть бути записані як частки двох цілих чисел # a / bcolor (білий) (88) # #b! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 #

#sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

Добуток двох цілих чисел - це ціле число:

Різниця двох цілих чисел:

Тому:

# 5a-21b # є цілим числом.

# 5b # є цілим числом.

Звідси:

# (5a-21b) / (5b) # є раціональним.

Але ми це знаємо #sqrt (2) # є ірраціональним, тому це суперечність з нашого припущення, що сума була раціональною, тому сума ірраціонального числа і раціонального числа завжди ірраціональна.