У класі є 7 дітей. Скільки способів вони можуть вибудувати для перерви?

#7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040. #

Ця особлива проблема - це перестановка. Нагадаємо, різниця між перестановками та комбінаціями полягає в тому, що з перестановками порядки мають значення. Враховуючи те, що питання запитує, як багато студентів можуть вибудувати для перерви (тобто, скільки різних порядків), це перестановка.

Уявіть на мить, що ми заповнювали лише дві позиції, позицію 1 і позицію 2. Для того, щоб розрізняти наших учнів, тому що порядок має значення, ми призначимо кожному лист від А до G. Тепер, якщо ми заповнюємо ці позиції одночасно, ми маємо сім варіантів для заповнення першої позиції: A, B, C, D, E, F і G. Однак, коли ця позиція заповнена, у нас є тільки шість варіантів для другого, оскільки один з студенти вже позиціонувалися.

В якості прикладу припустимо, що A знаходиться в положенні 1. Тоді наші можливі замовлення для наших двох позицій є AB (тобто A в положенні 1 і B у положенні 2), AC, AD, AE, AF, AG. Однак … це не враховує всі можливі замовлення тут, так як є 7 варіантів для першої позиції. Таким чином, якщо B знаходився в положенні 1, ми мали б можливості BA, BC, BD, BE, BF і BG. Таким чином, ми збільшуємо кількість варіантів разом: #7*6 = 42#

Озираючись на початкову проблему, є 7 учнів, які можуть бути поміщені в 1 позицію (знову ж таки, припускаючи, що ми заповнюємо посади з 1 по 7 по порядку). Як тільки позиція 1 заповнена, 6 учнів можуть бути поміщені в положення 2. З заповненими позиціями 1 і 2, 5 можуть бути поміщені в положення 3 і так далі, поки тільки один студент не може бути поміщений в останнє положення. Таким чином, збільшуючи кількість варіантів разом, ми отримуємо #7*6*5*4*3*2*1 = 5040#.

Для більш загальної формули знайти кількість перестановок # n # об'єкти # r # зараз, без заміни (тобто студент у положенні 1 не повертається до зони очікування і стає варіантом для положення 2), ми схильні використовувати формулу:

Кількість перестановок = # "n!" / "(n-r)!" #.

с # n # кількість об'єктів, # r # кількість позицій, які необхідно заповнити, і #!# символ для фактор, операція, яка діє на невід'ємне ціле число # a # такий, що #a! # = #atimes (a-1) раз (a-2) раз (a-3) разів … раз (1) #

Таким чином, використовуючи нашу формулу з оригінальною проблемою, де у нас 7 студентів одночасно (наприклад, ми хочемо заповнити 7 позицій), у нас є

#'7!'/'(7-7)!' = (7*6*5*4*3*2*1)/(0!) = (7*6*5*4*3*2*1)/1 = 7!#

Це може здатися протилежним тому #0! = 1#; однак це дійсно так.