Що таке кусково-безперервна функція? + Приклад

Відповідь:

Кусково-неперервна функція є функцією, яка є безперервною, за винятком кінцевого числа точок у своїй області.

Пояснення:

Зауважимо, що точки розриву кусково-безперервної функції не повинні бути змінних розривами. Тобто ми не вимагаємо, щоб функція була виконана безперервною, перевизначивши її в цих точках. Достатньо, що якщо виключити ці точки з домену, то функція буде неперервною в обмеженій області.

Наприклад, розглянемо функцію:

#s (x) = {(-1, "if x <0"), (0, "якщо x = 0"), (1, "якщо x> 0"):} #

графік {(y - x / abs (x)) (x ^ 2 + y ^ 2-0.001) = 0 -5, 5, -2,5, 2,5}

Це для всіх безперервне #x у RR # окрім #x = 0 #

Розрив на # x = 0 # не є знімним. Ми не можемо перевизначити #s (x) # у цій точці і отримати безперервну функцію.

У # x = 0 # графік функції 'стрибки'. Більш формально, мовою лімітів ми знаходимо:

#lim_ (x-> 0+) s (x) = 1 #

#lim_ (x-> 0-) s (x) = -1 #

Таким чином, ліва межа і права не згодні один з одним і зі значенням функції в # x = 0 #.

Якщо виключити кінцевий набір розривів з області, то функція, обмежена цим новим доменом, буде безперервною.

У нашому прикладі це визначення #s (x) # як функція від # (- oo, 0) uu (0, oo) -> RR # є безперервним.

Якщо графік #s (x) # обмежена цим доменом, вона все ще виглядає як переривчаста версія #0#, але #0# не є частиною домену, тому «стрибок» не має значення. У будь-якій точці довільно близька #0#, ми можемо вибрати невеликий відкритий інтервал навколо нього, в якому функція є (постійна і тому) безперервною.

Трохи заплутано, функція #tan (x) # вважається безперервним - а не кусково-безперервним, тому що в асимптотах #x = pi / 2 + n pi # виключені з домену.

graph {tan (x) -10,06, 9,94, -4,46, 5,54}

Тим часом функція пилкоподібної #f (x) = x - поверх (x) # не вважається кусково-неперервною як функція від # RR # до # RR #, але є кусково-неперервною на будь-якому кінцевому відкритому інтервалі.

графік {3/5 (abs (sin (x * pi / 2)) - abs (cos (x * pi / 2)) - abs (sin (x * pi / 2) ^ 3) / 6 + abs (cos (x * pi / 2) ^ 3) / 6) * tan (x * pi / 2) / абс (tan (x * pi / 2)) + 1/2 -2,56, 2,44, -0,71, 1,79}