Що таке асимптота (и) і отвір (и), якщо такі є, f (x) = xsin (1 / x)?

Відповідь:

Див. Нижче.

Пояснення:

Ну, очевидно, є дірка # x = 0 #, оскільки поділ на #0# неможливо.

Ми можемо графікувати функцію:

графік {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Немає інших асимптот або отворів.

Відповідь:

#f (x) # має отвір (знімний розрив) при # x = 0 #.

Вона також має горизонтальну асимптоту # y = 1 #.

Вона не має асимптот з вертикальним або нахилом.

Пояснення:

Дано:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Я буду використовувати кілька властивостей #sin (t) #а саме:

• #abs (sin t) <= 1 "" # для всіх реальних значень # t #.

• #lim_ (tt> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # для всіх значень # t #.

Спочатку зверніть увагу на це #f (x) # є парною функцією:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (- x)) = (-x) (- sin (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x) #

Ми знайшли:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

Тому:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Так як це #0#, так і є #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

Також, оскільки #f (x) # навіть:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Зверніть увагу на це #f (0) # є невизначеною, оскільки вона передбачає поділ на #0#, але існують і ліві, і праві межі # x = 0 #, отже, там є отвір (знімний розрив).

Ми також знаходимо:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (tt> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

Аналогічно:

#lim_ (x -> - оо) x sin (1 / x) = lim_ (tt> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

Тому #f (x) # має горизонтальну асимптоту # y = 1 #

графік {x sin (1 / x) -2.5, 2.5, -1.25, 1.25}