Яка площа поверхні піраміди висотою 11 см, основа якої рівносторонній трикутник з периметром 62 см? Показати роботу.

Відповідь:

´# 961 / sqrt (3) см ^ 2 ~ = 554,834 см ^ 2 #

Пояснення:

Для кращого розуміння див

Ми маємо справу з твердим 4 гранями, тобто тетраедром.

Конвенції (див. рис.1)

я дзвонив

• # h # висота тетраедра,
• #h "'" # похилу висоту або висоту нахилених граней,
• # s # кожна з сторін рівностороннього трикутника основи тетраедра,
• # e # кожен з країв похилих трикутників, коли немає # s #.

Також є

• # y #, висота рівностороннього трикутника підстави тетраедра,
• і # x #, апотегм цього трикутника.

Периметр #triangle_ (ABC) # дорівнює 62, тоді:

# s = 62/3 #

На рис. 2 видно, що

#tan 30 ^ @ = (s / 2) / y # => # y = (s / 2) * 1 / (sqrt (3) / 3) = 31 / скасувати (3) * скасувати (3) / sqrt (3) = 31 / sqrt (3) ~ = 17.898 #

Тому

#S_ (трикутник_ (ABC)) = (s * y) / 2 = (62/3 * 31 / sqrt (3)) / 2 = 961 / (3sqrt (3)) ~ = 184.945 #

і що

# s ^ 2 = x ^ 2 + x ^ 2-2x * x * cos 120 ^ @ #

# s ^ 2 = 2x ^ 2-2x ^ 2 (-1/2) #

# 3x ^ 2 = s ^ 2 # => # x = s / sqrt (3) = 62 / (3sqrt (3) #

На рис. 3 ми бачимо це

# e ^ 2 = x ^ 2 + h ^ 2 = (62 / (3sqrt (3))) ^ 2 + 11 ^ 2 = 3844/27 + 121 = (3844 + 3267) / 27 = 7111/27 => # e = sqrt (7111) / (3sqrt (3)) #

На рис. 4 ми бачимо це

# e ^ 2 = h "'" ^ 2+ (s / 2) ^ 2 #

#h "'" ^ 2 = e ^ 2- (s / 2) ^ 2 = (sqrt (7111)) / (3sqrt (3))) ^ 2- (31/3) ^ 2 = (7111-3 * 1089)) / 27 = 3844/27 #

#h "'" = 62 / (3sqrt (3)) ~ = 11.932 #

Площа одного похилого трикутника

#S _ ("нахилений" трикутник) = (s * h "'") / 2 = (62/3 * 62 / (3sqrt (3))) / 2 = 1922 / (9sqrt (3)) ~ = 123.296 #

Тоді загальна площа є

# S_T = S_ (трикутник_ (ABC)) + 3 * S _ ("похилий" трикутник) = 961 / (3sqrt (3)) + 1922 / (3sqrt (3)) = 961 / sqrt (3) cm ^ 2 ~ = 554,834 см ^ 2 #