Для яких значень x f (x) = x-x ^ 2e ^ -x увігнутий або опуклий?

Відповідь:

Знайдіть другу похідну і перевірте її знак. Це опуклий, якщо він позитивний і увігнутий, якщо він негативний.

Увігнутість для:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Опукла для:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Пояснення:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

Перша похідна:

#f '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

Брати # e ^ -x # як загальний чинник для спрощення наступної похідної:

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Друга похідна:

#f '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) #

#f '' (x) = e ^ -x * (2x-2-x ^ 2 + 2x) #

#f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Тепер треба вивчити знак. Ми можемо перемикати знак для легкого вирішення квадратичного:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

Щоб зробити квадратичний продукт:

#x_ (1,2) = (- b + -sqrt (Δ)) / (2 * a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

Тому:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x- (2-sqrt (2))) * (x- (2 + sqrt (2))) #

• Значення # x # Між цими двома рішеннями дається негативний квадратичний знак, в той час як будь-яке інше значення # x # робить його позитивним.
• Будь-яке значення # x # робить # e ^ -x # позитивний.
• Негативний знак на початку функції змінює всі знаки.

Тому, #f '' (x) # є:

Позитивний, отже, увігнутий для:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Негативний, тому опуклий для:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #