Що таке гільбертовий простір? + Приклад

Гільбертовий простір - це набір елементів з певними властивостями, а саме:

це векторний простір (отже, існують операції на її елементах, типові для векторів, як множення на реальне число і доповнення, що задовольняють комутативні і асоціативні закони);

між будь-якими двома елементами існує скалярний (іноді званий внутрішній або точковий) продукт, який приводить до реального числа.

Наприклад, наше тривимірне евклітове простір є прикладом гільбертового простору зі скалярним добутку # x = (x_1, x_2, x_3) # і # y = (y_1, y_2, y_3) # дорівнює # (x, y) = x_1 * y_1 + x_2 * y_2 + x_3 * y_3 #.

Більш цікавим прикладом є простір всіх безперервних функцій на сегменті # a, b # з скалярним продуктом, визначеним як

# (f, g) = int_a ^ b f (x) * g (x) dx #

У квантовій фізиці Гільбертовий простір відіграє дуже важливу роль як функція, що описує стан системи # Psi # є елементом гільбертового простору.

Я можу рекомендувати

http://www.phy.ohiou.edu/~elster/lectures/qm1_1p2.pdf

як вступ до використання гільбертового простору в квантовій фізиці.