Яке рівняння дотичної лінії f (x) = (1-x ^ 3) / (x ^ 2-3x) при x = 4?

Відповідь:

# y = (123/16) x-46 #

Пояснення:

Нахил дотичної лінії при x = 4 #f '(4) #

знайдемо #f '(x) #

#f (x) # знаходиться у формі # u / v # потім

#f '(x) = (u'v-v'u) / v ^ 2 #

дозволяє # u = 1-x ^ 3 # і # v = x ^ 2-3x #

Тому, #u '= - 3x ^ 2 #

# v '= 2x-3 #

потім

#f '(x) = (u'v-v'u) / v ^ 2 #

#f '(x) = (((- 3x ^ 2) (x ^ 2-3x)) - ((2x-3) (1-x ^ 3)) / (x ^ 2-3x) ^ 2 #

#f '(x) = (- 3x ^ 4 + 9x ^ 3-2x + 2x ^ 4 + 3-3x ^ 3) / (x ^ 2-3x) ^ 2 #

#f '(x) = (- x ^ 4 + 6x ^ 3-2x + 3) / (x ^ 2-3x) ^ 2 #

Щоб знайти нахил дотичної лінії при x = 4, потрібно обчислити f '(4)

Ми оцінювали f '(x), тому ми замінюємо x на 4

#f '(4) = (- 4 ^ 4 + 6 * 4 ^ 3-2 * 4 + 3) / (4 ^ 2-3 * 4) ^ 2 #

#f '(4) = (- 256 + 384-8 + 3) / (16-12) ^ 2 #

#f '(4) = 123/16 #

Нахил цієї дотичної 123/16

Маючи # x = 4 # знайдемо # y #

# y = (1-4 ^ 3) / (4 ^ 2-3 * 4) #

# y = -63 / 4 #

Рівняння дотичної лінії:

#y - (- 63/4) = 123/16 (x-4) #

# y + 63/4 = (123/16) x-123 * 4/16 #

# y + 63/4 = (123/16) x-123/4 #

# y = (123/16) x-123 / 4-63 / 4 #

# y = (123/16) x- (123 + 63) / 4 #

# y = (123/16) x-184/4 #

# y = (123/16) x-46 #