Що таке квадратична формула e ^ (2x) - 2e ^ x = 1?

Відповідь:

Визнати це як квадратичне в # e ^ x # і, отже, вирішувати за допомогою квадратичної формули, щоб знайти:

#x = ln (1 + sqrt (2)) #

Пояснення:

Це рівняння, яке є квадратичним # e ^ x #, перезаписувані як:

# (e ^ x) ^ 2-2 (e ^ x) -1 = 0 #

Якщо ми підставимо #t = e ^ x #, ми отримуємо:

# t ^ 2-2t-1 = 0 #

яка знаходиться у формі # at ^ 2 + bt + c = 0 #, с # a = 1 #, # b = -2 # і # c = -1 #.

Це має корені, задані квадратичною формулою:

#t = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = (2 + -sqrt (4 + 4)) / 2 = 1 + -sqrt (2) #

Тепер # 1-sqrt (2) <0 # не є можливим значенням # e ^ x # для реальних значень # x #.

Тому # e ^ x = 1 + sqrt (2) # і #x = ln (1 + sqrt (2)) #