Число 90 ^ 9 має 1900 різних позитивних інтегральних дільників. Скільки з них є квадратами цілих чисел?

Відповідь:

Wow - я можу відповісти на моє власне питання.

Пояснення:

Виходить, що підхід є комбінацією комбінаторики і теорії чисел. Почнемо з факторингу #90^9# на його прості фактори:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

Хитрість полягає в тому, щоб з'ясувати, як знайти квадрати цілих чисел, що є відносно простим. Квадрати цілих чисел можуть бути згенеровані різними способами з цієї факторизації:

#5^9*3^18*2^9#

Ми бачимо це #5^0#, наприклад, це квадрат цілого та дільника #90^9#; так само, #5^2#, #5^4#,#5^6#, і #5^8# всі вони також відповідають цим умовам. Тому ми маємо 5 можливих способів налаштування дільника #90^9# це квадрат з цілого числа, використовуючи тільки 5s.

Те ж саме міркування застосовується до #3^18# і #2^9#. Кожна парна потужність цих простих факторів - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (10 всього) для 3 і 0, 2, 4, 6, 8 (5 всього) для 2 - це ідеальний квадрат, який є дільником #90^9#. Крім того, будь-яку комбінацію цих простих дільників, які мають навіть повноваження, також задовольняють умовам. Наприклад, #(2^2*5^2)^2# є квадратом цілого числа, як є #(3^8*2^4)^2#; і обидва вони складаються з дільників #90^9#, також є дільниками #90^9#.

Таким чином потрібне число квадратів цілих чисел, які є дільниками #90^9# дається #5*10*5#, що є множенням можливих варіантів вибору для кожного простого множника (5 для 5, 10 для 3 і 5 для 2). Це дорівнює #250#, що є правильною відповіддю.