Які з наступних тверджень є істинними / неправдивими? (i) R 2 має нескінченну кількість ненульових власних векторних підпросторів (ii) Кожна система однорідних лінійних рівнянь має ненульове рішення.

Відповідь:

# #

# "(i) Правда." #

# "(ii) False."

Пояснення:

# #

# "Докази". #

# "(i) Ми можемо побудувати такий набір підпросторів:" #

# "1)" all r в RR, "let:" qquad quad V_r = (x, r x) в RR ^ 2. #

# "Геометрично," V_r "- це лінія, що йде через походження" RR ^ 2, "нахилу" t

# "2) Ми перевіримо, чи ці підпростори виправдовують твердження (i)." #

# "3) Зрозуміло:" qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) Переконайтеся, що:" qquad qquad V_r "є належним підпростором" RR ^ 2 ". #

# "Let:" qquad u, v у V_r, alpha, beta в RR. qquad qquad qquad quad "Переконайте, що:" quad alpha u + beta v у V_r. #

# u, v у V_r rArr u = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2); "для деяких" x_1, x_2 в RR #

# qquad qquad quad alfa u + beta v = α (x_1, r x_1) + бета (x_2, r x_2) #

alfa (x_1, r x_1) + бета (x_2, r x_2) # # qquad qquad qquad qquad

qqad qqad qquad qquad quad = (альфа x_1, альфа r x_1) + (бета x_2, b r x_2) #

quad = q qad qqad qquad quad = (альфа x_1 + бета x_2, альфа r x_1 + бета r x_2) #

xx1 + бета x_2, r (альфа x_1 + бета x_2)) # # qquad qquad qquad qquad

quad quad = (x_3, r x_3) у V_r; x_1 + бета x_2. #

# "So:" qquad qquadu, v у V_r, alfa, beta в RR quad rArr quad alfa u + v v V_r. #

# "Таким чином:" qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "- це підпростір" "RR ^ 2. #

# "Щоб побачити, що" V_r "є ненульовим, зауважте, що:" #

# qquad qquad qquad qquad (1, r) у V_r, "і" (1, r) n (0, 0).

# "Щоб побачити, що" V_r "є правильним," зауважте, що "(1, r + 1)!

# (1, r + 1) у V_r rArr "(шляхом побудови" V_r ")" quad r = cdot 1 = r + 1 #

rqr r = r + 1, "просто неможливо". #

# "Таким чином:" qquad qquad qquad V_r "- це ненульове, власне підпростір" RR ^ 2. qquad (1) #

# "5" Тепер покажіть, що існують нескінченно багато таких підпросторів "V_r. #

# "Let:" qquad r, s в RR. qquad qquad qquad quad "Ми покажемо:" qquad r s s rArr V_r ne V_s. #

# "За визначенням:" quad (1, r) = (1, r cdot 1) у V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) у V_s. #

# "Ясно:" qquad qquad qquad qquad r r s rArr (1, r) n (1, s). #

# "Таким чином:" qquad qquad qquad qquad qquad r n s s rArr V_r ne V_s. #

# "Так кожен" r в RR "виробляє окремий підпростір" V_r. #

# "Це разом з (1) дає:" #

# "Сімейство підпросторів:" r в RR "є нескінченною сім'єю" #

# "ненульових, правильних підпросторів" t qquad qquad qquad qquad квадратний # квадрат

# "(ii) Насправді це просто. Якщо система квадратна, а" # "

# "Матриця коефіцієнтів системи в обратному, буде тільки" #

# "нульове рішення". #

# "Припустимо:" qquad qquad quad A - це квадратна матриця, що обертається. #

# "Розглянемо однорідну систему:" #

qqad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A x = 0. #

# "Таким чином, як" A t

cdot A x = A ^ {- 1} cdot 0 qquad qquad qquad qquad qquad #

# qquad qquad 1 x = 0. #

# qquad qquad x = 0. #

# "Таким чином, однорідна система" A x = 0, "не має" #

# "ненульове рішення". qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad