Відповідь:
Це точно один з коренів #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # де #T_n (x) # є # n #Чебишевський поліном першого роду. Це один із сорока шести коренів:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1)
Пояснення:
# 58 ^ circ # не кратна 3. Кілька # 1 ^ # що не кратні 3 не є конструктивними з лінійкою і компасом, а їх тригерні функції не є результатом деякого складу цілих чисел за допомогою складання, віднімання, множення, ділення і квадратного вкорінення.
Це не означає, що ми не можемо записати якийсь вираз для #cos 58 ^ circ #. Візьмемо знак ступеня, що означає коефіцієнт # {2pi} / 360 #.
# e ^ {i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ + i t
#e ^ {- i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ - i t
# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ} = 2 cos 58 ^ circ #
#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #
Не дуже корисно.
Ми можемо спробувати записати поліноміальне рівняння, одним з яких є коріння #cos 58 ^ circ # але це, ймовірно, буде занадто великим, щоб відповідати.
# theta = 2 ^ circ # є #180#о. З #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # це означає #cos 2 ^ circ # задовольняє
#cos (44 тета) = -cos (46 тета) #
#cos (180 ^ circ -44 тета) = cos (46 тета) #
Давайте вирішимо це для # theta # спочатку. #cos x = cos a # має коріння # x = pm a + 360 ^ circ, # ціле число # k #.
# 180 ^ цир -46 тета = 44 год тета - 360 ^ цирку k #
# 46 тета: 44 тита = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #
#theta = 2 ^ circ + 4 ^ circ або t = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #
Це дуже багато коренів, і ми бачимо # theta = 58 ^ circ # серед них.
Поліноми #T_n (x) #, що називаються ченишівськими многочленами першого роду, задовольняють #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. Вони мають цілі коефіцієнти. Ми знаємо перші декілька формул з подвійним і потрійним кутом:
#cos (0 тета) = 1 квад-квад # тому# quad quad T_0 (x) = 1 #
#cos (1 тета) = cos theta quad quad # тому# quad quad T_1 (x) = x #
#cos (2 тета) = 2кос ^ 2 тета - 1 четвірка quad # тому # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #
#cos (3 тета) = 4кос ^ 3 тета - 3 cos theta quad quad # тому # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #
Є гарне відношення рекурсії, яке можна перевірити:
# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #
Таким чином, в теорії ми можемо генерувати їх так само великими # n # як ми дбаємо.
Якщо ми дозволимо # x = cos theta, # наше рівняння
#cos (44 тета) = -cos (46 тета) #
стає
#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #
Вольфрам Альфа з радістю розповість нам, що це таке. Я напишу рівняння для того, щоб перевірити візуалізацію математики:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1)
Так, ця відповідь давно дає, завдяки Сократу. Anway, один з коренів цього полінома 46-го ступеня з цілими коефіцієнтами cos 58 ^ circ #.
