Що таке квадратний корінь з 89?

Відповідь:

Квадратний корінь з #89# - це число, яке дає квадрат #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

Пояснення:

З #89# просто, #sqrt (89) # не можна спростити.

Її можна наблизити за допомогою методу Ньютона Рафсона.

Мені подобається переформулювати його так:

Дозволяє #n = 89 # є число, яке ви хочете квадратний корінь з.

Виберіть # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # так що # p_0 / q_0 # є розумним раціональним наближенням. З тих пір я вибрав ці особливі значення #89# приблизно на півдорозі між ними #9^2 = 81# і #10^2 = 100#.

Ітерацію за допомогою формул:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

Це дасть краще раціональне наближення.

Тому:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Тому, якщо ми зупинилися тут, ми отримаємо наближення:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

Давайте ще один крок:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Таким чином, ми отримуємо наближення:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

Цей метод Ньютона Рафсона швидко сходиться.

#color (білий) () #

Насправді, досить хороше просте наближення для #sqrt (89) # є #500/53#, з #500^2 = 250000# і #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

Якщо до цього застосувати один ітераційний крок, ми отримаємо кращу апроксимацію:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#color (білий) () #

Примітка

Всі квадратні корені позитивних цілих чисел повторюють продовження розширень фракцій, які також можна використовувати для раціональних наближень.

Однак у випадку з #sqrt (89) # триваюче розширення дрібниць трохи безладно, тому не дуже приємно працювати з:

#sqrt (89) = 9; бар (2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (3) + …))))))) #

Наближення #500/53# вище #9; 2, 3, 3, 2#