Як я можу це довести? Чи буде це використовувати теорему з реального аналізу?

# "Використовуйте визначення похідної:" #

#f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# "Тут у нас є" #

#f '(x_0) = lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - f (x_0)) / h #

#g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) - g (x_0)) / h #

# "Ми повинні довести, що" #

#f '(x_0) = g' (x_0) #

# "або" #

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

# "або" #

#h '(x_0) = 0 #

# "з" h (x) = f (x) - g (x) #

# "або" #

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)) / h = 0 #

# "або" #

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# "(через" f (x_0) = g (x_0) ")" # "#

# "Зараз" #

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# => lim <= 0 ", якщо" h> 0 "і" lim> = 0 ", якщо" h <0 #

# "Ми зробили припущення, що f і g є диференційованими" #

# "так" h (x) = f (x) - g (x) "також диференційовано, #

# "тому лівий ліміт повинен бути рівним правильному ліміту, тому" #

# => lim = 0 #

# => h '(x_0) = 0 #

# => f '(x_0) = g' (x_0) #

Відповідь:

Я надаватиму швидше рішення, ніж таке в http://socratic.org/s/aQZyW77G. Для цього нам доведеться покладатися на деякі знайомі результати з числення.

Пояснення:

Визначити #h (x) = f (x) -g (x) #

З #f (x) le g (x) #, ми маємо #h (x) le 0 #

У # x = x_0 #, ми маємо #f (x_0) = g (x_0) #, так що #h (x_0) = 0 #

Таким чином # x = x_0 # є максимумом диференційованої функції #h (x) # всередині відкритий інтервал # (a, b) #. Таким чином

#h ^ '(x_0) = 0 означає #

#f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) має на увазі #

#f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #