Питання # 9be0d

Відповідь:

Це рівняння є наближенням релятивістської енергії частки для низьких швидкостей.

Пояснення:

Я припускаю деякі знання про спеціальну теорію відносності, а саме, що енергія рухомої частинки, що спостерігається з інерціального кадру, задається # E = gammamc ^ 2 #, де # gamma = 1 / sqrt (1- (v / c) ^ 2) # фактор Лоренца. Тут # v # - швидкість частки, що спостерігається спостерігачем в інерціальному кадрі.

Важливим інструментом наближення для фізиків є наближення ряду Тейлора. Це означає, що ми можемо наблизити функцію #f (x) # від #f (x) approxsum_ (n = 0) ^ N (f ^ ((n)) (0)) / (n!) x ^ n #, чим вище # N #, чим краще наближення. Фактично для великого класу гладких функцій це наближення стає точним, як # N # прямує до # oo #. Зверніть увагу на це #f ^ ((n)) # виступає за n-й похідною Росії # f #.

Ми наближуємо функцію #f (x) = 1 / sqrt (1-x) # для малого # x #Відзначимо, що якщо # x # маленький, # x ^ 2 # буде ще менше, тому ми припускаємо, що ми можемо ігнорувати фактори цього порядку. Так у нас є #f (x) прибл (0) + f '(0) x # (ця особлива апроксимація також відома як наближення Ньютона). #f (0) = 0 # і #f '(x) = 1 / (2 (1-x) ^ (3/2)) #, тому #f '(0) = 1/2 #. Тому #f (x) approx1 + 1 / 2x #.

Відзначимо тепер # gamma = f ((v / c) ^ 2) #. Дійсно якщо # v # невелика відносно # c #що буде в повсякденних ситуаціях, наближення виконується, так # gammaapprox1 + 1/2 (v / c) ^ 2 #. Підставляючи це в рівняння для загальної енергії частки дає # Eapproxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2 #. Це дає нам кінетичну енергію #E _ ("kin") = E-E_ "відпочинок" approxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2-mc ^ 2 = 1 / 2mv ^ 2 # для низьких швидкостей, що узгоджується з класичними теоріями. Для більш високих швидкостей доцільно використовувати більше термінів з ряду Тейлора, закінчуючи так званими релятивістськими поправками на кінетичну енергію.