Питання 242а2

Відповідь:

Для енергії, що зберігається в конденсаторі в момент часу # t # ми маємо #E (t) == E (0) exp (-2t / (CR)) # де #E (0) # це початкова енергія, # C # ємність і # R # опір дроту, що з'єднує обидві сторони конденсатора.

Пояснення:

Давайте спочатку розглянемо деякі основні поняття, перш ніж відповісти на це запитання. Звичайно, нам потрібно знати енергію, що зберігається в конденсаторі, а точніше енергію, що зберігається в електричному полі, створеному зарядом, що зберігається в конденсаторі. Для цього ми маємо формулу # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # с # C # ємність конденсатора і # Q # заряд зберігається на одній з конденсаторних пластин. 1

Тому, щоб знати, як зменшується енергія, нам потрібно знати, як зменшується заряд. Для цього є кілька речей, які ми повинні мати на увазі. Перше, що заряд може тільки зменшитися, якщо він може піти куди завгодно. Найпростіший сценарій полягає в тому, що обидві пластини з'єднані через дріт, так що пластини можуть обмінюватися зарядом, щоб вони стали нейтральними. Друга річ, що якщо ми будемо вважати, що дріт не має опору, заряд зможе миттєво рухатися, так що енергія також знизиться до нуля. Оскільки це нудна ситуація, і, крім того, не дуже реалістично, ми вважаємо, що дріт має певний опір # R #, яку можна моделювати шляхом підключення конденсаторних пластин через резистор з опором # R # використовуючи дроти без опору.

Те, що ми зараз маємо, це так звана RC-ланцюг, показана нижче. Для того, щоб з'ясувати, як змінюється накопичений заряд, потрібно записати деяке диференціальне рівняння. Я не впевнений, наскільки добре володіє читач у математиці, тому, будь ласка, дайте мені знати, якщо вам не зрозуміло наступний розділ, і я спробую детальніше пояснити його.

Перш за все відзначимо, що при ходьбі по дроту ми відчуваємо два стрибки електричного потенціалу (напруги), а саме на конденсаторі і на резисторі. Ці стрибки даються # DeltaV_C = Q / C # і # DeltaV_R = IR # відповідно 1. Відзначимо, що спочатку немає струму, тому різниця потенціалів над резистором дорівнює 0, однак, як ми побачимо, буде струм, коли заряди почнуть рухатися. Тепер зауважимо, що коли ми ходимо навколо схеми, починаючи з однієї точки, ми знову опинимося в цій самій точці, тому що ми знаходимося в ланцюзі. У цій єдиній точці потенціал обидва рази однаковий, тому що це одна і та ж точка. (Коли я кажу, що ми йдемо по ланцюгу, я не маю на увазі це буквально, а ми перевіряємо стрибки напруги на ланцюзі в один момент часу, так що не проходить час при ходьбі по ланцюгу, тому аргумент зберігається, навіть якщо зміна напруги в часі.)

Це означає, що сумарний стрибок потенціалу дорівнює нулю. Тому # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. Тепер ми думаємо про те, що # I #, струм. Струм рухається заряду, він приймає позитивний заряд від однієї пластини конденсатора і доставляє до іншого. (Насправді більшу частину часу це навпаки, але це не має значення для математики цієї проблеми.) Це означає, що струм дорівнює зміні заряду на пластинах, іншими словами # I = (dQ) / dt #. Підставляючи це у рівняння, наведене вище # (dQ) / dtR + Q / C = 0 #, що означає # (dQ) / dt = -Q / (CR) #. Це так зване лінійне диференціальне рівняння першого порядку. Вона лінійно диктує зміну заряду на величину заряду в той час, а це означає, що якщо заряд буде вдвічі більшим, то зміна заряду буде вдвічі більшою. Ми можемо вирішити це рівняння розумним використанням числення.

# (dQ) / dt = -Q / (CR) #, ми припускаємо # Qne0 #що це не спочатку, і як вийде, ніколи не буде. Використовуючи це, можна сказати # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) #. Знати # Q # в певний момент часу # t # (іншими словами #Q (t) #, ми інтегруємо рівняння наступним чином: # int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_0 ^ t-1 / (CR) dt '= - t / (CR) # з # C # і # R # є константами. # int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_ (Q (0)) ^ (Q (t)) (dQ) / Q = ln ((Q (t)) / (Q (0))) # через зміну змінних. Це означає #ln ((Q (t)) / (Q (0))) = - t / (CR) #, тому #Q (t) = Q (0) exp (-t / (CR)) #.

Нарешті, ми повинні замінити це назад у рівнянні для енергії:

#E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2t / (CR)) = E (0) exp (-2t) / (CR)) #.

Тому енергія падає експоненціально через час. Дійсно, ми бачимо, що якщо # R # повинні були перейти до нуля, #E (t) # перейдемо до 0 миттєво.

1 Гріффітс, Девід Дж. Вступ до електродинаміки. Четверте видання. Pearson Education Limited, 2014