Як знайти похідну f (x) = (e ^ (2x) - 3lnx) ^ 4?

Відповідь:

# 4 (2e ^ (2x) - (3 / x)) × (e ^ (2x) -3lnx) ^ 3 #

Пояснення:

Похідна Росії #f (x) # можна обчислити за допомогою ланцюгового правила, яке говорить:

#f (x) # можуть бути записані як складові функції, де:

#v (x) = e ^ (2x) -3lnx #

#u (x) = x ^ 4 #

Тому, #f (x) = u (v (x)) #

Застосування ланцюгового правила щодо складеної функції #f (x) #ми маємо:

#color (фіолетовий) (f '(x) = u (v (x))' #

#color (фіолетовий) (f '(x) = v' (x) × u '(v (x))) #

Знайдемо #color (фіолетовий) (v '(x) #

Застосування правила ланцюжка на похідній експоненціальної:

#color (червоний) ((e ^ (g (x))) '= g' (x) × e ^ (g (x))) #

Знаючи похідну від #ln (x) # що говорить:

# color (коричневий) ((ln (g (x))) '= (g' (x)) / (g (x))) #

# color (purple) (v '(x)) = колір (червоний) ((2x)' e ^ (2x)) - 3 кольору (коричневий) ((x ') / (x)) #

#color (фіолетовий) ((v '(x)) = 2e ^ (2x) - (3 / x)) #

Знайдемо #color (синій) (u '(x)) #:

Застосування похідної потужності вказано таким чином:

#color (зелений) (x ^ n = nx ^ (n-1) #

#color (синій) (u '(x)) = колір (зелений) (4x ^ 3) #

На основі вищевказаного ланцюгового правила нам потрібно #u '(v (x)) # так що давайте підставимо # x # від #v (x) #:

#u '(v (x)) = 4 (v (x)) ^ 3 #

#color (фіолетовий) (u '(v (x)) = 4 (e ^ (2x) -3lnx) ^ 3) #

Підставимо значення #u '(v (x)) #і #v '(x) # у наведеному вище правилі ланцюга ми маємо:

#color (фіолетовий) (f '(x) = v' (x) × u '(v (x))) #

#color (фіолетовий) (f '(x) = (2e ^ (2x) - (3 / x)) × 4 (e ^ (2x) -3lnx) ^ 3) #

# color (фіолетовий) (f '(x) = 4 (2e ^ (2x) - (3 / x)) × (e ^ (2x) -3lnx) ^ 3) #