Нехай vec (x) - вектор, такий, що vec (x) = ( 1, 1), "і нехай" R (θ) = [(costheta, -sintheta), (sintheta, costheta)], тобто обертання Оператор. Для тета = 3 / 4pi знайдіть vec (y) = R (тета) vec (x)? Зробити ескіз, що показує x, y і θ?

Це виявляється обертанням проти годинникової стрілки. Чи можете ви здогадатися, скільки градусів?

Дозволяє #T: RR ^ 2 | -> RR ^ 2 # бути лінійним перетворенням, де

#T (vecx) = R (тета) vecx, #

#R (тета) = (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta), #

#vecx = << -1,1 >>. #

Зауважимо, що це перетворення було представлено як матриця перетворення #R (тета) #.

З того часу це означає # R # це матриця обертання, яка представляє обертальне перетворення, ми можемо розмножити # R # від # vecx # для здійснення цієї трансформації.

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx << -1,1 >>

Для # MxxK # і # KxxN # матрицею, результатом є #color (зелений) (MxxN) # матриці, де # M # є рядок вимір і # N # є стовпця вимір. Це:

# (y_ (11), y_ (12), …, y_ (1n)), (y_ (21), y_ (22), …, y_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (y_ (m1), y_ (m2), …, y_ (mn)) #

# = (R_ (11), R_ (12),.., R_ (1k)), (R_ (21), R_ (22), …, R_ (2k)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (R_ (m1), R_ (m2), …, R_ (mk)) xx (x_ (11), x_ (12), …, x_ (1n)), (x_ (21), x_ (22), …, x_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (x_ (k1), x_ (k2),…, x_ (kn)) #

Тому для a # 2xx2 # матрицю, помножену на a # 1xx2 #, ми повинні транспонувати вектор, щоб отримати a # 2xx1 # вектор стовпця, даючи нам відповідь, що є # mathbf (2xx1) # вектор стовпця.

Перемноживши ці два:

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx (- 1), (1) #

# = (-costheta - sintheta), (- sintheta + costheta) #

Далі, ми можемо підключити #theta = (3pi) / 4 # (що я вважаю правильним кутом), щоб отримати:

#color (синій) (T (vecx) = R (тета) vecx) #

# = R (тета) (- 1), (1) #

# = (-cos ((3pi) / 4) - sin ((3pi) / 4)), (- sin ((3pi) / 4) + cos ((3pi) / 4)) #

# = (-cos135 ^ @ - sin135 ^ @), (- sin135 ^ @ + cos135 ^ @) #

# = (- (- sqrt2 / 2) - sqrt2 / 2), (- sqrt2 / 2 + (-sqrt2 / 2)) #

# = колір (синій) ((0), (- sqrt2)) #

Тепер давайте графіку, щоб побачити, як це виглядає. Я можу сказати, що це обертання проти годинникової стрілки, після визначення трансформованого вектора.

Дійсно, обертання проти годинникової стрілки #135^@#.

CHALLENGE: Можливо, ви можете розглянути, що відбувається, коли матриця # (costheta, sintheta), (- sintheta, costheta) # замість цього. Як ви думаєте, це буде за годинниковою стрілкою?