Як довести (1 - sin x) / (1 + sin x) = (sec x + tan x) ^ 2?

Відповідь:

Використовуйте кілька ідентичностей тригерів і спростіть. Дивись нижче.

Пояснення:

Я вважаю, що в цьому питанні є помилка, але це не велика справа. Для того, щоб він мав сенс, питання слід читати так:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx - tanx) ^ 2 #

У будь-якому випадку ми починаємо з цього виразу:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(При доведенні ідентичності тригерів, як правило, краще працювати на стороні, яка має частку).

Давайте скористаємося акуратним трюком, званим спряженим множенням, де ми помножимо дробу на знаменник кон'югат:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

Кон'югат # a + b # є # a-b #, так що сполучено # 1 + sinx # є # 1-sinx #; ми помножимо на # (1-sinx) / (1-sinx) # щоб збалансувати фракцію.

Зверніть увагу на це # (1 + sinx) (1-sinx) # насправді різниця квадратів, що має властивість:

# (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Тут ми бачимо це # a = 1 # і # b = sinx #, тому:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2 = 1-sin ^ 2 x

Від піфагорейської ідентичності # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, випливає, що (після віднімання # sin ^ 2x # з обох сторін), # cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #.

Wow, ми поїхали # (1-sinx) / (1-sinx) # до # 1-sin ^ 2x # до # cos ^ 2x #! Тепер наша проблема виглядає так:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2 x = (secx-tanx) ^ 2 #

Розширимо чисельник:

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(Пам'ятайте: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #)

Тепер ми розіб'ємо дроби:

# 1 / cos ^ 2x- (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2 x

# = sec ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2 x / cos ^ 2 x

# = sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

Як спростити що ? Ну, пам'ятайте, коли я сказав: "Пам'ятайте: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #'?

Виходить, що # sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # насправді # (secx-tanx) ^ 2 #. Якщо ми дозволимо # a = secx # і # b = tanx #, ми бачимо, що це вираз:

#underbrace ((a) ^ 2) _secx-2 (a) (b) + underbrace ((b) ^ 2) _tanx #

Який, як я тільки що сказав, еквівалентний # (a-b) ^ 2 #. Замінити # a # с # secx # і # b # с # tanx # і ви отримаєте:

# sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

А ми завершили:

# (secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #