Що таке ортоцентр трикутника з вершинами в O (0,0), P (a, b) і Q (c, d) #?

Відповідь:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Пояснення:

Я узагальнив це старе питання, а не запитую нове. Я зробив це раніше для питання circumcenter та нічого поганого не відбулося, таким чином я продовжую серію.

Як і раніше, я поклав одну вершину на початок, щоб спробувати утримати алгебру. Довільний трикутник легко переводиться і результат легко переводиться назад.

Ортоцентр є перетином висот трикутника. Його існування ґрунтується на теоремі, що висоти трикутника перетинаються в точці. Ми говоримо, що три висоти одночасно.

Доведемо, що висоти трикутника OPQ є одночасними.

Напрямок вектора сторони ОП # P-O = P = (a, b), # це просто фантастичний спосіб сказати, що схил # b / a # (але вектор напрямку також працює, коли # a = 0 #). Отримуємо вектор спрямованості перпендикуляра, замінюючи координати і заперечуючи тут # (b, -a). Перпендикулярно підтверджується продуктом з нульовою точкою:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

Параметричне рівняння висоти від ОП до Q таким чином:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # насправді # t #

Висота від OQ до P аналогічна

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # насправді # u #

Вектор напрямку PQ є # Q-P = (c-a, d-b) #. Таким чином, перпендикуляр через початок, тобто висота від PQ

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # насправді # v #

Давайте подивимося на зустріч висот з ОП і PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

Це два рівняння в двох невідомих, # t # і # v #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Ми помножимо першу на # a # другий # b #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

Додавання, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad - ab + ab -bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Шляхи прохолодні з точковим продуктом в чисельнику і поперечним продуктом в знаменнику.

Зустріч є передбачуваним ортоцентром # (x, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad-bc} (d-b, a-c) #

Давайте знайдемо зустріч висот з OQ і PQ наступного. За симетрією ми можемо просто помінятися # a # с # c # і # b # с # d #. Результат ми назвемо # (x ', y').

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

У нас ці два перехрестя однакові, # (x ', y') = (x, y), # тому ми довели, що висоти є одночасними. #quad sqrt #

Ми виправдали назву загального перетину ортоцентр, і ми знайшли його координати.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #