Математично вивести коріння кольору (білий) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

Відповідь:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # для #n = 0, 1, 2 #

Пояснення:

Дано:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Тригонометричне заміщення

З цього кубіка є #3# Реальні нулі, метод Кардано призведе до виразів, що включають незвідні коріння куба комплексних чисел. Метод Кардано не помилковий, але він не дуже доброзичливий, якщо тільки коріння куба не мають просту форму.

Як альтернатива в таких випадках я б вибрав тригонометричну заміну.

Дозволяє:

#x = k cos theta #

Хитрість полягає в тому, щоб вибрати # k # такі, що отримане вираз містить # 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 тета #.

Ми маємо:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (білий) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 тета - 3k cos theta - 1 #

#color (білий) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 #

#color (білий) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 "" # с # k = 2 #

#color (білий) (0) = 2cos 3theta - 1 #

Тому:

#cos 3 theta = 1/2 #

Тому:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # для будь-якого цілого числа # n #

Тому:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # для будь-якого цілого числа # n #

Це дасть #3# різні можливі значення #x = k cos theta #…

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # для #n = 0, 1, 2 #.