Що таке новий метод перетворення для вирішення квадратичних рівнянь?

Скажімо, у вас є …

# x ^ 2 + bx #

Це можна трансформувати в:

# (x + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

Давайте дізнаємося, чи перекладається вище вираження # x ^ 2 + bx #…

# (x + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

# = ({x + b / 2} + b / 2) ({x + b / 2} -b / 2) #

# = (x + 2 * b / 2) x #

# = x (x + b) #

# = x ^ 2 + bx #

Відповідь ТАК.

Тепер це важливо відзначити # x ^ 2-bx # (зверніть увагу на знак мінус) можна перетворити на:

# (x-b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

Те, що ви тут робите завершення площі. Ви можете вирішити безліч квадратичних проблем, завершивши квадрат.

Ось один основний приклад цього методу на роботі:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# ax ^ 2 + bx = -c #

# 1 / a * (ax ^ 2 + bx) = 1 / a * -c #

# x ^ 2 + b / a * x = -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2- (b / (2a)) ^ 2 = -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2-b ^ 2 / (4a ^ 2) = - c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) - (4ac) / (4a ^ 2) #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = (b ^ 2-4ac) / (4a ^ 2) #

# x + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / sqrt (4a ^ 2) #

# x + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

# x = -b / (2a) + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

#:. x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Відома квадратична формула може бути отримана шляхом завершення площі.

Новий метод трансформації для вирішення квадратичних рівнянь.

СПРАВИ 1. Вирішення типу # x ^ 2 + bx + c = 0 #. Вирішення означає знаходження 2-х чисел, які знають їхню суму (# -b #) та їх продукт (# c #). Новий метод складається з пар факторів (# c #), і в той же час застосовується Правило знаків. Потім вона знаходить пару, сума якої дорівнює (# b #) або (# -b #).

Приклад 1. Вирішити # x ^ 2 - 11x - 102 = 0 #.

Рішення. Складають парні фактори #c = -102 #. Коріння мають різні знаки. Продовжити: #(-1, 102)(-2, 51)(-3, 34)(-6, 17).# Остання сума # (- 6 + 17 = 11 = -b). Тоді два справжні коріння: #-6# і #17#. Відсутність факторингу шляхом групування.

СПРАВИ 2. Вирішення стандартного типу: # ax ^ 2 + bx + c = 0 # (1).

Новий метод перетворює це рівняння (1) в: # x ^ 2 + bx + a * c = 0 # (2).

Вирішіть рівняння (2), як ми зробили в CASE 1, щоб отримати 2 реальних кореня # y_1 # і # y_2 #. Далі поділіть # y_1 # і # y_2 # за коефіцієнтом a, щоб отримати 2 реальних кореня # x_1 # і # x_2 # початкового рівняння (1).

Приклад 2. Вирішити # 15x ^ 2 - 53x + 16 = 0 #. (1) # a * c = 15 (16) = 240.

Перетворене рівняння: # x ^ 2 - 53 + 240 = 0 # (2). Вирішіть рівняння (2). Обидва коріння позитивні (Правило знаків). Складають парні фактори # a * c = 240 #. Продовжити: #(1, 240)(2, 120)(3, 80)(4, 60)(5, 48)#. Це остання сума # (5 + 48 = 53 = -b) #. Тоді два справжні коріння: # y_1 = 5 # і

# y_2 = 48 #. Повернутися до початкового рівняння (1), два справжні корені: # x_1 = y_1 / a = 5/15 = 1/3; # і # x_2 = y_2 / a = 48/15 = 16 / 5. # Немає факторингу і вирішення біномів.

Переваги нового методу трансформації: простий, швидкий, систематичний, відсутність вгадування, відсутність факторингу шляхом групування і відсутність вирішальних біномів.