Трикутник А має площу 4 і дві сторони довжини 8 і 4. Трикутник B подібний до трикутника A і має сторону довжиною 13. Які максимальні та мінімальні області трикутника B?

Відповідь:

# "Max" = 169/40 (5 + sqrt15) ~~ 37.488 #

# "Min" = 169/40 (5 - sqrt15) ~~ 4.762 #

Пояснення:

Нехай вершини трикутника # A # бути позначені # P #, # Q #, # R #, с #PQ = 8 # і #QR = 4 #.

Використання Формули Герона,

# "Область" = sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)} #, де

#S = {PQ + QR + PR} / 2 # є напівпериметром,

ми маємо

#S = {8 + 4 + PR} / 2 = {12 + PR} / 2 #

Таким чином,

#sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)} #

# = sqrt {({12 + PQ} / 2) ({12 + PQ} / 2-8) ({12 + PQ} / 2-4) ({12 + PQ} / 2-PQ)} #

# = sqrt {(12 + PQ) (PQ - 4) (4 + PQ) (12 - PQ)} / 4 #

# = "Площа" = 4 #

Вирішіть на # C #.

#sqrt {(144 - PQ ^ 2) (PQ ^ 2 - 16)} = 16 #

# (PQ ^ 2 - 144) (PQ ^ 2 - 16) = -256 #

# PQ ^ 4 - 160 PQ ^ 2 + 2304 = -256 #

# (PQ ^ 2) ^ 2 - 160 PQ ^ 2 + 2560 = 0 #

Завершіть площу.

# ((PQ ^ 2) ^ 2 - 80) ^ 2 + 2560 = 80 ^ 2 #

# ((PQ ^ 2) ^ 2 - 80) ^ 2 = 3840 #

# PQ ^ 2 = 80 + 16sqrt15 # або # PQ ^ 2 = 80 -16sqrt15 #

#PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~~ 11.915 # або

#PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~~ 4,246 #

Це показує, що є два можливих види трикутника, які задовольняють заданим умовам.

У випадку максимальної області для трикутника, ми хочемо, щоб сторона з довжиною 13 була схожою на сторону PQ для трикутника з #PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~~ 4,246 #.

Отже, лінійне співвідношення масштабу становить

# 13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}} ~~ 3.061 #

Тому область збільшується до коефіцієнта, який є квадратом лінійного співвідношення масштабу. Таким чином, може мати макс

# 4 xx (13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}}) ^ 2 = 169/40 (5 + sqrt15) ~~ 37,488 #

Аналогічно, у випадку мінімальної області для трикутника, ми хочемо, щоб сторона з довжиною 13 була схожою на сторону PQ для трикутника з #PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~~ 11.915 #.

Отже, лінійне співвідношення масштабу становить

# 13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}} ~~ 1.091 #

Тому область збільшується до коефіцієнта, який є квадратом лінійного співвідношення масштабу. Таким чином, трикутник B мін

# 4 xx (13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}}) ^ 2 = 169/40 (5 - sqrt15) ~~ 4.762 #