Нехай G є циклічною групою, а G = 48. Як ви знаходите всю підгрупу G?

Відповідь:

Всі підгрупи є циклічними, з розподілом замовлень #48#

Пояснення:

Всі підгрупи циклічної групи самі по собі є циклічними, з порядками, які є дільниками порядку групи.

Щоб зрозуміти, чому, припустимо # G = <a> # циклічний з порядком # N # і #H підлягає G # є підгрупою.

Якщо # a ^ m у H # і # a ^ n у H #, тоді так і є # a ^ (pm + qn) # для будь-яких цілих чисел #p, q #.

Тому # a ^ k у H # де #k = GCF (m, n) # і обидва # a ^ m # і # a ^ n # знаходяться в # <a ^ k> #.

Зокрема, якщо # a ^ k у H # с #GCF (k, N) = 1 # потім #H = <a> = G #.

Також не те якщо #mn = N # потім # <a ^ m> # є підгрупою з # G # з замовленням # n #.

Ми можемо вивести:

• # H # має не більше ніж #1# генератор.
• Порядок # H # є фактором # N #.

У нашому прикладі #N = 48 # і підгрупи ізоморфні:

# C_1 #, # C_2 #, # C_3 #, # C_4 #, # C_6 #, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

будучи:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #