Нехай G є групою, а H .G. Доведіть, що єдиним правом співрозмовників H в G, що є підкоренням G, є сам H.

Відповідь:

Припускаючи, що питання (як уточнено в коментарях):

Дозволяє # G # бути групою і # Гек.. Доведіть, що єдиний правильний coset # H # в # G # що є підгрупою # G # є # H # себе.

Пояснення:

Дозволяє # G # бути групою і # Гек.. Для елемента #g у G #, правий coset # H # в # G # визначається як:

# => Hg = {hg: h

Припустимо, що # Гг G #. Потім ідентифікаційний елемент #e Hg #. Однак, ми обов'язково знаємо, що #e.

З # H # є правою кореневою лінією, а два правих класу повинні бути ідентичними або непересічними, ми можемо зробити висновок #H = Hg #

=================================================

Якщо це не зрозуміло, спробуємо докази, що виключають символи.

Дозволяє # G # бути групою і нехай # H # бути підгрупою Росії # G #. Для елемента # g # належить # G #, дзвінок # Hg # праворуч # H # в # G #.

Припустимо, що має право # Hg # є підгрупою з # G #. Потім ідентифікаційний елемент # e # належить до # Hg #. Однак ми вже знаємо, що елемент ідентичності # e # належить до # H #.

Два правих кластера повинні бути ідентичними або непересічними. З # H # є правою послугою, # Hg # є правою косетою, і обидва містять # e #вони не можуть бути роз'єднаними. Отже, # H # і # Hg # повинні бути ідентичними, або #H = Hg #

Нехай f (x) - функція f (x) = 5 ^ x - 5 ^ {- x}. Чи є f (x) парним, непарним або ні? Доведіть свій результат.

Функція непарна. Якщо функція парна, вона задовольняє умові: f (-x) = f (x) Якщо функція непарна, вона задовольняє умові: f (-x) = - f (x) У нашому випадку ми бачимо, що f (-x) = 5 ^ -x-5 ^ x = - (5 ^ x-5 ^ -x) = - f (x) Оскільки f (-x) = - f (x), функція непарна.

Нехай G є циклічною групою, а G = 48. Як ви знаходите всю підгрупу G?

Всі підгрупи є циклічними, з порядками, що поділяють 48 Всі підгрупи циклічної групи самі по собі є циклічними, з порядками, які є дільниками порядку групи. Щоб зрозуміти, чому, G = <a> є циклічним з порядком N, а H - підгрупою G. Якщо a ^ m в H і a ^ n в H, то так і є ^ (pm + qn) для будь-яких цілих чисел p, q. Таким чином, a ^ k в H, де k = GCF (m, n) і обидва a ^ m і a ^ n знаходяться в <a ^ k>. Зокрема, якщо a ^ k в H з GCF (k, N) = 1, то H = <a> = G. Також не в тому, що якщо mn = N, то <a ^ m> є підгрупою G з порядком n. Ми можемо зробити висновок: H має не більше 1 генератора. Порядок H - коеф

Нехай W1 = {AA M2x2, A '= A} і W2 = {AA M2X2, A' = - A} Доведіть, що M2x2 = W1 + W2 (пряма сума)?

Дивись нижче. Будь-яка квадратна матриця M може бути розкладена як сума симетричної частини M_s плюс антисиметрична частина M_a, яка є M_s = 1/2 (M + M ^ T) з "" ^ T означає транспозицію, і M_a = 1/2 (MM ^ T) так M = M_s + M_a