Нехай p є простим. Покажіть, що S = {m + nsqrt (-p) m, n у ZZ} є підколом CC..Далі перевірте, чи S є ідеалом CC?

Відповідь:

# S # це підкорення, але не ідеал.

Пояснення:

Дано:

#S = m + nsqrt (-p) #

• # S # містить адитивну ідентичність:

  # 0 + 0sqrt (-p) = 0колір (білий) (((1/1), (1/1))) #

• # S # закрито на додаток:

  # (m_1 + n_1 sqrt (-p)) + (m_2 + n_2 sqrt (-p)) = (m_1 + m_2) + (n_1 + n_2) колір sqrt (-p) (білий) (((1/1), (1/1))) #

• # S # закритий під аддитивною інверсією:

  # (m_1 + n_1 sqrt (-p)) + (-m_1 + -n_1 sqrt (-p)) = 0колір (білий) (((1/1), (1/1))) #

• # S # закрито під множенням:

  # (m_1 + n_1 sqrt (-p)) (m_2 + n_2 sqrt (-p)) = (m_1m_2-pn_1n_2) + (m_1n_2 + m_2n_1) колір sqrt (-p) (білий) (((1/1), (1/1))) #

Тому # S # є підкоренням # CC #.

Вона не є ідеалом, оскільки не володіє властивістю поглинання.

Наприклад:

#sqrt (3) (1 + 0sqrt (-p)) = sqrt (3)!