Три греки, три американці і три італійці сидять навмання навколо круглого столу. Яка ймовірність того, що люди в трьох групах сидять разом?

Відповідь:

#3/280#

Пояснення:

Давайте порахувати шляхи, щоб усі три групи могли сидіти поруч один з одним, і порівняти це з числом способів, якими можна було б випадково посадити 9.

Ми перерахуємо людей з 1 по 9, і групи #A, G, I. #

#stackrel A overbrace (1, 2, 3), stackrel G overbrace (4, 5, 6), stackrel I overbrace (7, 8, 9) #

Є 3 групи, тому є #3! = 6# способи розташування груп у рядку без порушення їх внутрішніх замовлень:

#AGI, AIG, GAI, GIA, IAG, IGA #

Поки що це дає нам 6 дійсних перевантажень.

У кожній групі є 3 члени, так що знову є #3! = 6# способи організації учасників у кожній з 3 груп:

#123, 132, 213, 231, 312, 321#

#456, 465, 546, 564, 645, 654#

#789, 798, 879, 897, 978, 987#

У поєднанні з 6 способами організувати групи ми тепер маємо #6^4# дійсні перестановки до цих пір.

А оскільки ми знаходимося за круглим столом, ми допускаємо до 3-х аранжувань, де перша група може бути "наполовину" на одному кінці, а "половина" на іншій:

# "A A A G G G I I"

# "A A G G I I I"

# "A G G G I I A A" #

Кількість загальних способів залучення всіх трьох груп - це # 6 ^ 4 xx 3. #

Кількість випадкових способів розташування всіх 9 людей #9!#

Тоді ймовірність випадкового вибору одного з "успішних" способів

# (6xx6xx6xx6xx3) / (9xx8xx7xx6xx5xx4xx3xx2xx1) #

# = (3) / (2xx7xx5xx4) #

#=3/280#