Перепишіть рівняння у поверненій x'y'-системі без терміну x'y '. Чи можу я отримати допомогу? Дякую!

Відповідь:

Другий вибір:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Пояснення:

Дане рівняння

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

у загальній декартовій формі для конічного перетину:

# Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

де #A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 і F = -144 #

Опорне обертання осей дає нам рівняння, які дозволяють обертати конічний перетин до заданого кута, # theta #. Також це дає нам рівняння, що дозволяє примусити коефіцієнт # xy # стати 0.

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

Підставляючи значення з рівняння 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

Спростити:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

Використовуємо рівняння (9.4.4b), щоб переконатися, що нове обертання викликає коефіцієнт # xy # термін дорівнює 0:

#B '= (A-C) sin (2тета) + B cos (2тета) #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # перевірено.

Використовуйте рівняння (9.4.4a) для обчислення # A '#:

#A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2 theta) - B / 2 sin (2тета) #

#A '= (31 + 21) / 2 + (31 - 21) / 2 cos (2 (-pi / 6)) - (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#A '= 36 #

Використовуйте рівняння (9.4.4c) для обчислення # C '#:

#C '= (A + C) / 2 + (C - A) / 2 cos (2тета) + B / 2 sin (2тета) #

#C '= (31 + 21) / 2 + (21 - 31) / 2 cos (2 (-pi / 6)) + (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#C '= 16 #

Для обчислення використовуйте рівняння (9.4.4f) # F '#

#F '= F #

#F '= -144 #

Тепер, ми можемо написати неротовані форми:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

Розділіть обидві сторони на 144:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

Додайте 1 до обох сторін:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Відповідь:

Варіант Б

Пояснення:

Ми можемо записати рівняння в матричній формі, а потім повернути її на головну вісь.

Дозволяє:

#bb x ^ T M bb x = x, y (a, b), (b, c) (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + b y), (bx + cy) = Q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

#implies a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

І так у матричній формі:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 qquad square #

Для обертання осей # bbx # від # theta #:

#bb x ^ '= R (тета) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

Транспортування #bb x ^ '= R bb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (R bbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #, як R є ортогональним

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

Введення цих останніх 2 результатів #площа#:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

IOW якщо R це матриця, яка діагоналізує М, то ми маємо рівняння з точки зору його головних осей для діагональної матриці власних векторів D, тобто:

• #D = R M R ^ (- 1) #

М власні значення 36 і 16, тому їх можна діагоналізувати як:

#bb x ^ ('^ T) D bb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36, 0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') (9, 0), (0, 4) ((x '), (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #