Як знайти антидериватив dx / (cos (x) - 1)?

Відповідь:

Робіть деяке сполучене множення, застосуйте деякі тригери і закінчіть, щоб отримати результат # int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Пояснення:

Як і в більшості проблем цього типу, ми вирішимо це за допомогою сполученого трюка множення. Всякий раз, коли у вас є щось поділене на щось плюс / мінус (як у # 1 / (cosx-1) #), завжди корисно спробувати сполучене множення, особливо з функціями тригерів.

Ми почнемо з множення # 1 / (cosx-1) # шляхом сполучення # cosx-1 #, який # cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Ви можете здивуватися, чому ми це робимо. Тому ми можемо застосувати різницю властивостей квадратів, # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #, в знаменнику, щоб трохи спростити. Повернутися до проблеми:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (underbrace (cosx) -boundbrace (1)) (підгрупа (cosx) + underbrace1)) #

#color (білий) (III) acolor (білий) (XXX) bcolor (білий) (XXX) acolor (білий) (XXX) b #

Зверніть увагу, що це по суті # (a-b) (a + b) #.

# = (cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

Тепер, про що # cos ^ 2x-1 #? Ну, ми знаємо # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Помножте це на #-1# і подивитися, що ми отримуємо:

# -1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2 x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = cos ^ 2-1 #

Виходить, що # -sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, так що давайте замінимо # cos ^ 2x-1 #:

# (cosx + 1) / (- sin ^ 2x #

Це еквівалентно # cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #, яка, використовуючи деякі тригери, зводиться до # -cotxcscx-csc ^ 2x #.

На цьому етапі ми спростилися до цілісного # int1 / (cosx-1) dx # до # int-cotxcscx-csc ^ 2xdx #. Використовуючи правило суми, це стає:

# int-cotxcscxdx + int-csc ^ 2xdx #

Перший з них # cscx # (оскільки похідна від # cscx # є # -cotxcscx #), а другий # cotx # (оскільки похідна від # cotx # є # -csc ^ 2x #). Додайте на постійну інтеграції # C # і у вас є рішення:

# int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #